Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Aufgabe 1

1) Untersuche die Funktion und ihren Wendepunkte mithilfe des Applets.[br]2) Beschreibe, wie die Zusammenhänge zwischen dem Wendepunkt der Ausgangsfunktion und dem Verhalten der ersten und der zweiten Ableitung.

Aufgabe 2 - Kreuze die richtigen Antworten an.

An der Stelle, wo f(x) einen Wendepunkt hat,...

... hat die erste Ableitung f'(x) eine Nullstelle ... hat die erste Ableitung f'(x) ein Extremum ... hat die die zweite Ableitung f''(x) ein Extremum ... hat die die zweite Ableitung f''(x) eine Nullstelle

Aufgabe 3

Beschreibe nun in eigenen Worten, wie man Wendestellen berechnen kann.[br][br]Wie lauten die notwendige und hinreichende Bedingung?

Aufgabe 4

Mit unserem Wissen über Wendepunkt und dem Verhalten der ersten und zweiten Ableitung können wir Wendepunkte nun genau berechnen.[br][br]Die Funktionsgleichung von f(x) lautet [math]f\left(x\right)=\frac{-1}{30}x^3+0,75x^2-4,5x+10[/math][br][br]Berechne die Stelle, an der f(x) den Wendepunkt hat.

7,5 7,6 7,55 7,4

Aufgabe 5

Untersuche nun, wie das Krümmungsverhalten (Rechts- oder Linkskurve) mit der zweiten Ableitung zusammenhängt. Schau dir dafür das Verhalten des Lenkrads an.

f(x) ist rechtsgekrümmt, wenn f''(x)>0 f(x) ist linksgekrümmt, wenn f''(x)>0 f(x) ist rechtsgekrümmt, wenn f''(x)<0 f(x) ist linksgekrümmt, wenn f''(x)<0

Bestimme, für welche Intervalle f(x) rechts- bzw. linksgekrümmt ist.

Aufgabe 6

Verfasse einen eigenen Merksatz über den Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten einer Funktion und ihrer zweiten Ableitung f''(x).

Fertig?

Untersuche die folgende Funktion auf Wendepunkte und das Krümmungsverhalten. [br][br][math]f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-6x^2+2x-4[/math][br][br]Die Lösung findest du im Buch auf S. 100. [br][br]Aufgabe 1 und 2 sind ebenfalls gute Übungsaufgaben