Die Koeffizienten [math]a_0[/math] bis [math]a_3[/math] sind ganzzahlig, und die Form der Gleichung stimmt für [math]n=3[/math] mit der Gleichung aus dem Satz überein. Es handelt sich auf der linken Seite um ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.

Zunächst identifiziert man [math]n=3[/math] und damit [math]a_3=1, a_0=4[/math].[br][math]a_3=1[/math] hat nur den Teiler [math]\pm1[/math][br][size=85](Hinweis: Wenn [math]a_n=1[/math] gilt, sind die geratenen Nullstellen stets ganzzahlig.)[/size][br][math]a_0=4[/math] hat die Teiler [math]\pm1, \pm2, \pm 4[/math][br]Die einzigen möglichen rationalen Nullstellen sind also: [math]x=\pm\frac{1}{1}, \pm\frac{2}{1},\pm\frac{4}{1}=\pm1,\pm2,\pm4[/math].

Durch Einsetzen der möglichen Lösungen erhalten wir [math]x=-1[/math] als einzige Lösung.

Mit Polynomdivision folgt:[br][math](x^3-3x^2-8x-4):(x+1)=x^2-4x-4[/math][br][math]\underline{-x^3-x^2}[/math][br] [math]-4x^2-8x[/math][br] [math]\underline{4x^2+4x}[/math][br] [math]-4x-4[/math][br] [math]\underline{4x+4}[/math][br] [math]0[/math][br][br]Anschließend wird die quadratische Gleichung gelöst:[br][math]x^2-4x-4=0\iff x_{2,3}=2\pm\sqrt{8}[/math][br][math]\implies[/math] Alle Lösungen: [math]x_1=-1,x_2=2+\sqrt{8},x_3=2-\sqrt{8}[/math]

Mit Hilfe des Satzes 1 erhält man die möglichen rationalen Nullstellen: [math]\left\{\pm1,\pm2\right\}[/math].[br]Einsetzen liefert [math]x_1=-2[/math] als Lösung.

Mit Hilfe der Polynomdivision erhält man:[br] [math](x^3\hspace{3em} -5x-2):(x+2)=x^2-2x-1[/math][br][math]\underline{-x^3-2x^2}[/math][br] [math]-2x^2-5x[/math][br] [math]\underline{2x^2+4x}[/math][br] [math]-x-2[/math][br] [math]\underline{x+2}[/math][br] [math]0[/math][br]Lösen der quadratischen Gleichung [math]x^2-2x-1=0[/math] ergibt: [br][math]x_{2,3}=1\pm\sqrt{2}[/math]