Matrici
Raccolta di attività basate su matrici.
Table of Contents
- Le basi - Definizioni, operazioni
- Matrici - Definizioni di base
- Sistemi lineari
- Teorema di Cramer per sistemi 2x2 e 3x3
- Trasformazioni nel piano
- Trasformazioni di triangoli e matrici
- Matrici e trasformazioni lineari
- Coniche
- Riconoscere una conica dagli invarianti
Matrici - Definizioni di base
Esplora l'app che segue per imparare la terminologia di base sulle matrici, poi mettiti alla prova con gli esercizi elencati di seguito.
Pronti, partenza... pratica!
Un [i]quadrato magico[/i] è una disposizione di numeri naturali tutti diversi tra loro in una tabella quadrata, in modo che la somma degli elementi di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali diano sempre lo stesso risultato, che è la "costante magica" del quadrato.[br][br]Costruisci un quadrato magico di ordine 3.[br]Qual è la tua costante magica?
Una matrice quadrata è costituita esclusivamente dai seguenti elementi:[br][math]a_{11}=2[/math], [math]a_{22}=-1[/math], [math]a_{12}=3[/math], [math]a_{21}=0[/math].[br][br]Qual è l'espressione della matrice?[br]È una matrice quadrata o rettangolare? Di che ordine?
Scrivi una matrice quadrata di ordine 4 che soddisfi la condizione[br][math]a_{ij}=a_{ji}[/math] [math]\forall i\in\left[1,n\right][/math] , [math]\forall j\in\left[1,n\right][/math][br][br](Quale valore di [math]n[/math] devi considerare per questo problema?)
Scrivi una matrice quadrata di ordine 4 che soddisfi la condizione[br][math]a_{ij}=i+j[/math] [math]\forall i\in\left[1,n\right][/math] , [math]\forall j\in\left[1,n\right][/math][br][br](Quale valore di [math]n[/math] devi considerare per questo problema?)
Teorema di Cramer per sistemi 2x2 e 3x3
Un sistema lineare si dice:[br][list][*][b][i]compatibile [/i][/b](o possibile) se ammette almeno una soluzione. In particolare è [i][b]determinato [/b][/i]se la soluzione è unica e [i][b]indeterminato [/b][/i]se ammette infinite soluzioni.[/*][*][i][b]incompatibile [/b][/i](o impossibile) se non ammette soluzioni.[/*][/list][br]
Teorema di Cramer
Dato il sistema [math]Ax=b[/math] di [math]n[/math] equazioni lineari in [math]n[/math] incognite, se il determinante [math]D[/math] della matrice rappresentativa del sistema [math]A[/math] è diverso da 0, il sistema ammette una e una sola soluzione, data da:[br][math]x_1=\frac{D_1}{D}[/math], [math]x_2=\frac{D_2}{D},\ldots x_n=\frac{D_n}{D}[/math] [br]dove [math]D_1,D_2,\ldots D_n[/math] sono i determinanti delle matrici ottenute sostituendo la colonna dei termini noti del sistema rispettivamente alla prima, seconda, ... , [math]n[/math]-esima colonna della matrice rappresentativa del sistema.
Scrivi il seguente sistema in forma matriciale e stabilisci se è possibile risolverlo utilizzando il Teorema di Cramer.[br][math]\begin{cases} 3x + 5y =9 \\ 7x-2y =10 \end{cases}[/math]
Per quale valore del parametro [math]k[/math] il seguente sistema è determinato?[br][math]\begin{cases} x - y -3z =8 \\ 3x+ky-z =4 \\2x+3y+4z =-4 \end{cases}[/math][br]
Risolvi il seguente sistema utilizzando il Teorema di Cramer.[br][math]\begin{cases} -x + 5y=2 \\ 7x-2y=0 \end{cases}[/math]
Risolvi applicando il Teorema di Cramer, se possibile, al sistema [math]Ax=b[/math], dove:[br][math]A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}[/math] e [math]b=\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}[/math]
Risolvi il seguente sistema utilizzando il Teorema di Cramer.[br][math]\begin{cases} x + y+z=6 \\ x-2y-z=-6 \\ 3x+3y-z=6 \end{cases}[/math]
Risolvi applicando il Teorema di Cramer, se possibile, al sistema [math]Ax=b[/math], dove:[br][math]A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix}[/math] e [math]b=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}[/math]
Trasformazioni di triangoli e matrici
Trascina i vertici del triangolo e osserva come la matrice delle coordinate si modifica di conseguenza.[br][br]Scegli una trasformazione predefinita o crea la trasformazione che preferisci, utilizzando gli slider.[br][br]Le coordinate del triangolo trasformato si ottengono moltiplicando la matrice della trasformazione per la matrice delle coordinate del triangolo dato.[br]
Ora tocca a te!
Data la matrice della trasformazione [math]T=\begin{pmatrix}[br]1 & 2\\[br]2 & 1[br]\end{pmatrix} [/math], che manda [math]\left(x,y\right)\rightarrow\left(x',y'\right)[/math] , scrivi le equazioni della trasformazione, quindi determina i trasformati dei punti [math]O=\left(0,0\right),A=\left(1,2\right)[/math] e [math]B=\left(-1,1\right)[/math].[br][br]Verifica i tuoi risultati nell'app qui sopra, selezionando l'opzione "Personalizzata" e impostando i valori degli slider visualizzati.
Seleziona la trasformazione [i]Omotetia[/i].[br]Osserva le misure delle aree visualizzate nell'app e muovi lo slider. [br]In particolare esamina i valori ottenuti per [math]k=\pm1[/math] e [math]k=\pm2[/math].[br]Quale relazione intercorre tra le aree del triangolo dato e del triangolo trasformato?[br]Tale relazione dipende dal rapporto di omotetia [math]k[/math]?
Nell'app, seleziona la trasformazione [i]Omotetia[/i], e imposta il valore del rapporto [math]k=-1[/math].[br]Come è la posizione relativa del triangolo dato e di quello trasformato?[br]Osserva la matrice della trasformazione.[br][br]Ora, senza modificare il triangolo dato, seleziona la trasformazione [i]Rotazione[/i], e applica al triangolo una rotazione di 180°.[br][br]Cosa osservi? Puoi generalizzare questa proprietà?[br]
Riconoscere una conica dagli invarianti
Inserisci i coefficienti della conica in forma generale, calcola gli invarianti e visualizza il grafico e la classificazione della conica corrispondente.[br][br]Utilizza lo [i]zoom [/i]se il grafico non è ben visibile nella vista Grafici.