Dado un punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color] en el plano de un [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color], que no se encuentre en los lados de [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color] ni en sus prolongaciones, sean [b][color=#0000ff]P[sub]A[/sub][/color][/b], [color=#0000ff][b]P[sub]B[/sub][/b][/color] y [color=#0000ff][b]P[sub]C[/sub][/b][/color] los puntos en que sus cevianas (las tres rectas que pasan por los vértices [color=#ff00ff][b]A[/b][/color], [b][color=#ff00ff]B[/color][/b] y [b][color=#ff00ff]C[/color][/b] y por el punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color]) cortan al lado opuesto. Estos puntos determinan el triángulo ceviano del punto [b][color=#0000ff]P[/color][/b] y la circunferencia [b][color=#6aa84f]Ω[/color][/b] circunscrita a este triángulo es la circunferencia cicloceviana de [color=#0000ff][b]P[/b][/color]. Sean [b][color=#ff0000]Q[sub]A[/sub][/color][/b], [color=#ff0000][b]Q[sub]B[/sub][/b][/color] y [color=#ff0000][b]Q[sub]C[/sub][/b][/color] los otros puntos en que [b][color=#6aa84f]Ω[/color][/b] corta a los lados [color=#ff00ff][b]a[/b][/color], [color=#ff00ff][b]b[/b][/color] y [color=#ff00ff][b]c[/b][/color] respectivamente. Es una consecuencia inmediata del [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Ceva.html]teorema de Ceva[/url] y de la potencia de un punto respecto a una circunferencia que las cevianas de estros tres puntos concurren:[br][br][math]\begin{matrix}Pot_{\Omega\left(A\right)}=AP_B·AQ_B=AP_C·AQ_C\\Pot_{\Omega\left(B\right)}=BP_C·BQ_C=BP_A·BQ_A\\Pot_{\Omega\left(C\right)}=CP_A·CQ_A=CP_B·CQ_B\end{matrix}[/math][br][br]Multiplicando las tres igualdades y dejando las [color=#0000ff][b]P[/b][/color] a la izquierda y las [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] a la derecha:[br][br][math]\frac{AP_B}{CP_B}\frac{BP_C}{AP_C}\frac{CP_A}{BP_A}=\frac{AQ_C}{BQ_C}\frac{BQ_A}{CQ_A}\frac{CQ_B}{AQ_B}[/math][br][br]El lado izquierdo es igual a [b]1[/b] por el [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Ceva.html]teorema de Ceva[/url], ya que los tres segmentos concurren en [color=#0000ff][b]P[/b][/color]. Pero entonces el lado derecho también es [b]1[/b], y por el recíproco del t [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Ceva.html]teorema de Ceva[/url] deben concurrir los tres en un punto, que hemos llamado [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] y es el conjugado cicloceviano del punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color]. Nótese que [color=#0000ff][b]P [/b][/color]y [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] comparten enonces la misma circunferencia cicloceviana [b][color=#6aa84f]Ω[/color][/b].

¿Cual es la circunferencia cicloceviana del baricentro [color=#ff00ff][b]G[/b][/color]? ¿Y del ortocentro [color=#ff00ff][b]H[/b][/color]? Entonces, ¿cuales son los conjugados ciclocevianos de [b][color=#ff00ff]G[/color][/b] y [color=#ff00ff][b]H[/b][/color]?[br][br]El [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Gergonne_punto_Adams_circ.html]punto de Gergonne [color=#ff00ff][b]Ge[/b][/color][/url] es el punto en que se cortan las cevianas de los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita. ¿Cuál es entonces la circunferencia cicloceviana de [color=#ff00ff][b]Ge[/b][/color]? ¿Cuál sera pues su conjugado cicloceviano?[br][br]¿Y el de un punto perteneciente a un lado o su prolongación?[br][br]¿Hay otros puntos autoconjugados ciclocevianamente?[br]

¿Cual es la circunferencia cicloceviana del baricentro [color=#ff00ff][b]G[/b][/color]? ¿Y del ortocentro [color=#ff00ff][b]H[/b][/color]? Entonces, ¿cuales son los conjugados ciclocevianos de [b][color=#ff00ff]G[/color][/b] y [color=#ff00ff][b]H[/b][/color]?[br][br]El [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Gergonne_punto_Adams_circ.html]punto de Gergonne [color=#ff00ff][b]Ge[/b][/color][/url] es el punto en que se cortan las cevianas de los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita. ¿Cuál es entonces la circunferencia cicloceviana de [color=#ff00ff][b]Ge[/b][/color]? ¿Cuál sera pues su conjugado cicloceviano?[br][br]¿Y el de un punto perteneciente a un lado o su prolongación?[br][br]¿Hay otros puntos autoconjugados ciclocevianamente?