Transformações Geométricas
Table of Contents
- História
- A história por trás das Transformações Geométricas
- Não-isometrias
- Homotetia
- Isometrias
- Rotação
- Translação
- Reflexão
- Reflexão Deslizante
- M.C. Escher
- Obras de Escher
- Atividades com material concreto
- Rotação e translação
- Reflexão
A história por trás das Transformações Geométricas
Pinturas mais antigas
[justify][size=50][size=150][/size][/size][/justify][size=100][justify][size=50][size=150][/size][/size][/justify][/size][size=100][justify][size=50][size=150][/size] [/size]Como em diversas áreas da matemática, não é possível determinar o começo das transformações geométricas. O surgimento acontece no decorrer da história e há indícios de pinturas rupestres que parecem indicar o uso de padrões e simetria, como é o caso na pintura do sítio de El Buey, na Bolívia (Figura 1). Nossos ancestrais começaram imitando as formas conhecidas pela natureza e no decorrer dos anos foram criando seus próprios símbolos e características. [/justify][/size]
Figura 1
Construções simétricas
[justify] Algumas culturas passaram a desenvolver características mais marcantes que outras, que é o caso do mundo islâmico, onde a partir da proibição da representação pictográfica de seres vivos começaram a criar diversas formas geométricas representando a grandiosidade de sua cultura e sua espiritualidade. Alhambra (figura 2), Granada - Espanha, sofreu uma grande influência árabe e as características geométricas criadas nela foram bem expressivas, apresentando um complexo de jardins, palácios e fortalezas divididas em planos regulares e apresentando diversos tipos de simetrias.[/justify]
Figura 2
[justify]Nas figuras 3 e 4, podemos confirmar o uso de algumas correspondências geométricas, as quais se repetem formando um padrão linear ou objetos geométricos. A figura 4 contém pinturas antigas do México.[/justify]
Figura 3
Figura 4
Brasil
[justify] A cerâmica marajoara (figura 5), é considerada uma das mais antigas do continente Americano. Ela é visivelmente feita através de padrões e símbolos geométricos, também lembrando uma figura com reflexões.[/justify]
Figura 5
[size=150]Transformações geométricas na natureza[/size]
Flor
Borboleta
Face da coruja
Flor
Caso queira aprender um pouco mais sobre a história das transformações geométricas, acesse o arquivo pdf abaixo.
Referências
http://w3.impa.br/~cheque/fm2017/[br]http://g1.globo.com/globo-reporter/noticia/2011/02/alhambra-representa-ultima-resistencia-arabe-na-espanha.html[br]https://br.pinterest.com/pin/360499145148285987/[br]https://www.infoescola.com/artes/arte-rupestre/
Homotetia
Homotetia é uma ampliação ou redução de objetos a partir de um ponto fixo O e uma razão r.
Propriedades importantes
[list][*]A homotetia preserva os ângulos;[br][/*][*]Um segmento de reta é levado a outro segmento de reta paralelo ao primeiro.[/*][/list][br]
O que se pode afirmar sobre a razão (r) de uma homotetia
[size=100]o Se o módulo da razão da homotetia for[br]maior que 1, temos uma ampliação;[br]o Se o módulo da razão da homotetia for[br]menor que 1, temos uma redução;[br]o Se o módulo da razão da homotetia for igual[br]a 1, temos uma isometria.[br][/size][br]
Rotação
A partir de um ponto fixo R e um ângulo, um objeto sofre uma rotação.
Propriedades importantes
[list][*]Em uma rotação, a figura transformada é geometricamente igual à original; [/*][/list][list][*]Um ponto e seu transformado estão à mesma distância do centro de rotação;[/*][/list][list][*]Um ponto da figura pertencente ao centro de rotação é transformado em si próprio.[/*][/list][br]
Observação
[size=100]Uma rotação de 180° é equivalente a uma homotetia de razão -1.[/size]
Para estudar mais sobre reflexões, utilize o arquivo abaixo
Obras de Escher
[b][size=200][size=150]Quem foi Escher?[/size][/size][/b]
[justify] Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972), foi um artista gráfico holandês conhecido por suas obras que, por meio de conhecimentos geométricos, representam construções impossíveis e paradoxais. É possível visualizar a presença de isometrias rotineiramente.[/justify]
[b]Principais Obras:[/b]
"Céu e Água I"
Obra feita a partir de translações.
"A latitude dos Cavalos"
Obra feita a partir de translações e reflexões.
"Bird Fish"
"Subindo e Descendo"
Essa escada tem fim?[br]
"Relatividade"
Retrata um mundo que não se aplicam as leis normais de gravidade.
"Metamorphosis I"
"Anjos e demônios"
Obra feita a partir de rotações.
"Drawing Hands"
O paradoxo de duas mãos se desenhando e sugerem a sensação de estarem saindo do plano da folha.
Referências
https://www.ebiografia.com/m_c_escher/[br]https://www.guiadasartes.com.br/maurits-cornelis-escher/obras-e-biografia[br]https://www.mcescher.com/[br]https://amusearte.hypotheses.org/2072
Rotação e translação
Materiais necessários:
[list][*]Papel quadriculado;[br][/*][*]Papel transparente;[/*][*]Alfinete;[/*][*]Caneta.[/*][/list]
A atividade
[list][*]O aluno deve desenhar na folha quadriculada algum polígono ou desenho qualquer de seu interesse;[/*][*]Colocar a folha de papel transparente por cima da quadriculada e sobrescrever exatamente o mesmo desenho;[/*][*]Com a ajuda de um alfinete, escolher um ponto para servir de ponto de rotação;[/*][*]Girar a folha transparente mantendo a quadriculada estática.[/*][/list]
A translação é semelhante, porém não requer o auxílio de alfinetes. Feito como na rotação, o aluno deve movimentar a folha de papel horizontal e/ou verticalmente, sem rotacioná-la.[br]