Le curve più semplici sono senza dubbio la[b] retta[/b] e il [b]cerchio[/b].[br][br]Per tracciare i cerchi si usa il compasso: basta mantenere costante la distanza del punto tracciante dal centro e si ottengono cerchi quasi perfetti anche con compassi primitivi.[br][br]A prima vista sembrerebbe che anche tracciare un segmento sia un’operazione semplicissima: basta prendere un righello o servirsi di una corda tesa. [br][br]In effetti come possiamo aspettarci le cose non stanno proprio così: per tracciare con la riga una buona linea retta occorre che essa stessa abbia un lato “diritto”, ma la bontà di una riga dipende da quella che si è usata per costruirla. [br][br]Una domanda sorge spontanea: chi ha costruito la prima riga? Risulta più facile disegnare il segmento o la circonferenza? [br][br]C’è una sostanziale difficoltà nel descrivere quella che è la più semplice tra le curve, così la necessità di trovare una costruzione facile e accurata diventa un problema teorico-pratico notevole.Gli strumenti sui quali si basa la geometria euclidea, la riga e il compasso, non sono quindi sullo stesso piano; il compasso è di per sè più preciso della riga e sembrerebbe auspicabile poter fare a meno di questa ultima. [br][br]Ma se si diminuisce il numero degli strumenti a disposizione è del tutto ragionevole ritenere che si ridurrà anche il numero di costruzioni possibili. [br][br]Il pavese [b]Mascheroni nel 1797[/b] dimostra che [i]tutte le costruzioni che si possono ottenere con riga e compasso si possono eseguire col solo compasso.[/i] [br]Utilizzando il solo compasso la costruzione diviene più complicata ma il risultato diviene più preciso.[br][br]Le costruzioni base nella dimostrazione di Mascheroni erano:[list][*]condurre per un punto dato la parallela ad una retta data, ovvero costruire almeno un altro punto della retta parallela;[/*][*]determinare un segmento multiplo di un segmento assegnato;[/*][*]costruire il punto simmetrico di un punto dato rispetto ad una retta data[/*][/list][br][br][br]

[b]Siti interessanti[/b][list][*][url=https://matematicaitaliana.sns.it/opere/5/]La geometria del compasso[/url], a cura del Centro di Ricerca Matematica "Ennio De Giorgi"[/*][*][url=https://it.wikisource.org/wiki/La_Geometria_del_Compasso_(1797)]La Geometria del Compasso (1797)[/url], Wikisource[/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%E2%80%93Mascheroni_theorem]Mohr–Mascheroni theorem[/url], From Wikipedia, the free encyclopedia[/*][*][url=https://it.wikipedia.org/wiki/La_geometria_del_compasso]La geometria del compasso[/url], Da Wikipedia, l'enciclopedia libera[/*][*][url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/compass/][i]Compass Geometry [/i][/url], by David E. Joyce[/*][*][url=https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass1.shtml]Geometric Construction with the Compass Alone[/url], by Alexander Bogomolny on Cut the knot[/*][/list]

L'inversione rispetto ad un cerchio è una trasformazione geometrica inventata nel 1831 da [b]Ludwig Immanuel Magnus [/b]che si può dire generalizzi la simmetria rispetto ad una retta. Il tipo di geometria conseguente "[i]merita attenzione non solo per la sua intrinseca bellezza ma anche perché è la geometria dei numeri complessi e perché le coppie di punti e le circonferenze del reale il piano inversivo fornisce un modello isomorfo per le linee e i piani dello spazio iperbolico (non euclideo)[/i]" (H.S.M. Coxeter, Inversive Geometry,1971).

L'inversione circolare :[br][list][*]ha per punti uniti tutti e soli quelli della circonferenza d'inversione;[/*][*]è involutoria, ovvero l'inversa dell'inversa di una figura data è quella stessa figura data;[/*][*]manda rette e circonferenze in rette e circonferenze, in particolare modo ogni retta passante per il centro O d'inversione viene trasformata in sé stessa, [b]una retta che non passa per O viene invece trasformata in una circonferenza passante per O [/b]e ogni circonferenza non passante per O viene trasformata in una circonferenza non passante per O;[/*][*]preserva gli angoli tra curve;[/*][*]inverte l'orientazione.[/*][/list]