7 Vektorprodukt
Schnapp' dir den Stern, Super Mario!
Wir spielen Super Mario Kart. [color=#cc0000][b]Mario[/b][/color] fährt in Richtung der Vektors [math]\vec{a}[/math]. [color=#6aa84f][b]Bowsers Wurf[/b][/color] trifft ihn und wirkt in Richtung des Vektors [math]\vec{b}[/math]. Senkrecht über Mario befindet sich der wertvolle [color=#f1c232][b]Stern[/b][/color]. Wie muss er springen?
[b][color=#38761d]Wiederholung[br][/color][/b][br]Klar ist, der gesuchte Vektor [math]\vec{n}[/math] muss sowohl [color=#1155cc][b]orthogonal[/b][/color] zu [math]\vec{a}[/math] als auch [math]\vec{b}[/math] sein. Hier hilft uns das Thema der letzten Stunde, das [color=#1155cc][b]Skalarproduk[/b][/color][b][color=#1155cc]t[/color][/b]. Es gilt also [math]\vec{a}\circ\vec{n}=0[/math] und [math]\vec{b}\circ\vec{n}=0[/math]. Stelle ein entsprechendes Gleichungssystem auf und gib eine allgemein Lösung für [math]\vec{n}[/math] an.
Dank vieler Nullen ist das Gleichungssystem hier gar nicht viel Arbeit.
Was ist nun aber, wenn die Vektoren nicht mehr so schön sind. Es wäre durchaus schön nicht immer ein komplettes Gleichungssystem lösen zu müssen. Genau dabei hilft uns das [color=#1155cc][b]Vektorprodukt [/b][/color]- unser heutiges Thema. [br][br]Veranschauliche dir den gesuchten Vektor im GeoGebra-Applet ("vor"-Button klicken.)[br]
Sieh dir jetzt das folgende[color=#38761d] [b]Video[/b] [/color]an um zu lernen, wie man diesen [color=#1155cc][b]Vektor algebraisch finden[/b][/color] kann.
Übertrage nun den [b][color=#38761d]Hefteintrag[/color][/b] und sieh dir das [b][color=#38761d]Erklärvideo[/color][/b] dazu an.
Hefteintrag: 7 Vektorprodukt
Erklärvideo
[color=#38761d][b]Anmerkungen:[br][/b][/color][br]- Wegen der Sprechweise "[color=#1155cc][b]a kreuz b[/b][/color]" wird das Vektorprodukt auch als [color=#1155cc][b]Kreuzprodukt[/b][/color] bezeichnet.[br][br]- Das [b][color=#1155cc]Ergebnis [/color][/b]des [u]Skalarprodukts[/u] ist ein [b][color=#1155cc]Skalar[/color][/b] (eine Zahl), das des [u]Vektorprodukts[/u] ein [color=#1155cc][b]Vektor[/b][/color].
Das üben wir gleich mal mit der folgenden [color=#1155cc][b]Basisaufgabe[/b][/color].[br][br][color=#38761d]Buch S. 113[/color]
Lösung
Doch das Vektorprodukt kann noch viel mehr als "nur" orthogonale Vektoren zu finden. Mit seiner Hilfe kann man sehr einfach [color=#1155cc][b]Flächen- und Volumenberechnungen[/b][/color] durchführen.[br][br]Wir starten mit den [color=#1155cc][b]Flächenberechnungen[/b][/color]. Sieh dir dazu zunächst folgendes Applet an.
Wir haben oben bereits gelernt, dass[math]\vec{a}[/math][color=#333333] und[/color][math]\vec{b}[/math] ein [color=#1155cc][b]Parallelogramm[/b][/color] aufspannen. Dieses hat die Fläche [math]A=\left|\vec{a}\right|\cdot h[/math].[br][br] [math]h[/math] ist die Höhe des Parallelogramms. Sie steht senkrecht auf [math]\vec{a}[/math]. [br]Deshalb können wir sagen [math]sin\varphi=\frac{h}{\left|\vec{b}\right|}\left(=\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}\right)[/math][br]Also gilt auch, dass [math]h=\left|\vec{b}\right|\cdot sin\varphi[/math].[br][br][color=#1155cc][b]Merke dir diese Beziehung[/b][/color] und sieh dir das nächste [b][color=#38761d]Video [/color][/b]an.
Der[color=#1155cc][b] Betrag des[/b][/color] [b][color=#1155cc]Vektorprodukt[/color][/b] macht es uns also super einfach den [color=#1155cc][b]Flächeninhalt eines Parallelogramm[/b][/color][b][color=#1155cc]s[/color][/b] im Raum zu berechnen. [br][br]Übertrage dazu folgenden [color=#38761d][b]Hefteintrag[/b][/color]:
Das üben wir gleich mal. Löse [color=#38761d]zwei von drei Teilaufgaben[/color].[br][br][b][color=#38761d]Tipp:[/color][/b] Ein [b][color=#1155cc]Dreieck[/color][/b] ist ein [color=#1155cc][b]halbes Parallelogramm[/b][/color]. [br][br][color=#38761d]Buch S. 113[/color]
Skizze zu Aufgabe 3
Lösung
Weiter geht's mit der nächsten Übung. Hier sollst du einen bestimmten Vektor ermitteln, der zu zwei gegebenen Vektoren orthogonal ist.[br][br][color=#38761d][b]Tipp:[/b][/color] Vergiss nicht, dass alle [color=#1155cc][b]Vielfachen des Vektorprodukts[/b][/color] orthogonal zu den gegebenen Vektoren sind.[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 114[/color]
Frage
[color=#38761d][b]HAUSAUFGABE:[br][/b][/color]Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Hausaufgabe
[b][color=#38761d]Tipps zur Hausaufgabe:[br][/color][/b][br]1. analog zu Aufgabe 2, reines Formeleinsetzen[br]2. analog zu Aufgabe 12[br]3.a) analog zu Aufgabe 3[br] b) Formel umstellen[br]
[color=#38761d][b]freiwillige Zusatzaufgaben:[br][/b][/color][br]Die Rechengesetze für das Skalarprodukt lassen sich leicht nachrechnen. Nutze einfach allgemeine Vektoren, wie [math]\vec{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)[/math] um die Gesetze zu beweisen. Gerne kannst du mir deine Lösung zur Korrektur im Chat schicken.[br][color=#38761d][br]Buch S. 114[/color]
