[size=150][b]一、平均速度、中间时刻速度推论[br][br][/b][/size]设物体以初速度[math]v_0[/math]，加速度[math]a[/math]做匀变速直线运动，全程运动时间为[math]t[/math]，[math]t[/math]时刻速度为[math]v_t[/math]，全程平均速度为[math]\overline{v}[/math]。

物体[math]0-t[/math]内做匀变速直线运动的位移[math]x_1[/math]等效于物体以平均速度[math]\bar{v[/math]做匀速直线运动的位移[math]x_2[/math]。[br][br]在[math]v-t[/math]图像上即两者与t轴围成的面积相等，即[math]s_1=s_2[/math]，我们由此推出：[br][br][math]\overline{v}=\frac{v_0+v_t}{2}[/math]

若要[math]s_1=s_2[/math]，必然推出[math]\overline{v}[/math]是[math]v_0[/math]和[math]v_t[/math]的中间值，这个值还对应[math]0-t[/math]中间时刻[math]\frac{t}{2}[/math]的速度[math]v_{\frac{t}{2}}[/math]。故：[br][br][math]v_{\frac{t}{2}}=\overline{v}=\frac{v_0+v_t}{2}=\frac{x}{t}[/math]

[b][size=100][size=150]二、应用情景[/size][/size][br][/b][br]平均速度反映的是一段运动过程，瞬时速度反映的是某个位置或者某个时刻。[br][br][math]\overline{v}=v_{\frac{t}{2}}=\frac{v_t+v_0}{2}[/math]这个推论的重要之处在于它将平均速度和瞬时速度关联了起来。[br][br]它的应用主要有以下两方面：[br][br]①不知道具体的运动过程，不知道位移和时间，只知道初末速度或者中间时刻速度，可以利用推论算出整个运动的平均速度[br][br]②知道了位移和时间，就可以利用推论计算中间时刻的速度，不需要其他的状态量

[b]1、由瞬时速度算平均速度和位移[br][/b][br]用[math]x=\overline{v}[/math][math]t[/math]计算位移比位移-时间公式[math]x=v_0t+\frac{1}{2}at^2[/math]或者[math]x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}[/math]要简单很多。[br][br]利用平均速度推论，我们可以快速地通过初末速度或中间时刻速度得到平均速度，从而计算位移也会简单很多。[br][br][color=#0000ff][b]例1[/b]：（多选）[/color][color=#0000ff]由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10s末的速度为2m/s，下列说法中正确的是（　　）[/color][table][tr][td][color=#0000ff]A．前10s内通过的路程为5m[/color][/td][td][color=#0000ff] B．速度每秒变化了0.2m/s[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]C．10s内平均速度为1m/s[/color][/td][td][color=#0000ff] D．第10s内的位移是2m[br][/color][/td][/tr][/table][br][color=#ff0000]解析：[br]加速度[/color][math]a=\frac{Δv}{Δt}=0.2m/s^2[/math][color=#ff0000]，B正确[br]由平均速度推论[/color][math]\overline{v}=\frac{v}{2}=1m/s[/math][color=#ff0000]，C正确[br]前10s位移[/color][math]x=\overline{v}t=10m[/math][color=#ff0000]，A、D错[/color][br][br][color=#0000ff][b]例2[/b]：汽车从[i]A[/i]到[i]B[/i]做匀加速直线运动用时12s。已知汽车6s时速度为5m/s，求[i]AB[/i]间距离[i]L[/i]。[br][br][/color][color=#ff0000]解析：[br]6s是运动的中间时刻，[/color][math]\overline{v}=v_{\frac{t}{2}}=5m/s[/math][br][math]L=\overline{v}t=60m[/math]

[b]2、由位移、时间算瞬时速度和加速度[br][/b][br]对匀变速直线运动来说，加速度[math]a[/math]是最关键的一个状态量。加速度的计算基于[color=#980000]瞬时速度[/color]的变化量。[br][br]若我们不知道瞬时速度，只知道位移和时间，就可以利用中间时刻速度推论[math]v_{\frac{t}{2}}=\overline{v}=\frac{Δx}{Δt}[/math]将平均速度转化为瞬时速度。[br][br][color=#0000ff][b]例1[/b]：一个物体以初速度[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f58888df91890a19a1aa7511d19703f.svg[/img]开始做匀加速直线运动，前4s内的平均速度为[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fbae9b64d5a3a42931dc41c32fc4bb75.svg[/img]，前8s内的平均速度为[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/310122a0449b0874ebb36a31bb20aa1f.svg[/img]，则初速度[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f58888df91890a19a1aa7511d19703f.svg[/img]的大小为（　　）[math]0m/s[/math][table][tr][td]A．[/td][td] B．[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6196cf17c17eb7b94ef4b963942a0680.svg[/img][/td][td] C．[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61d24a598ac8570cff3c7246b0521b3d.svg[/img][/td][td] D．[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29cb819905c2f7bb8792895c2da02e9e.svg[/img][/td][/tr][/table][/color][br][color=#ff0000]解析：[br]前4s的中间时刻[math]t_2=2s[/math]的速度[math]v_2=\overline{v_4}=3m/s[/math],[br]前8s的中间时刻[math]t_4=4s[/math]的速度[math]v_4=\overline{v_8}=5m/s[/math],[br]加速度[math]a=\frac{v_4-v_2}{t_4-t_2}=1m/s^2[/math][br]初速度[math]v_0=v_2-at_2=1m/s[/math]，故选B[/color]

[color=#0000ff][b]例2[/b]：[/color][color=#0000ff]物体从静止开始做匀加速直线运动，第3s内通过的位移是6m，求物体运动的加速度大小及第3s末的速度大小？[/color][br][br][color=#ff0000]解析：[br]第3s的平均速度[math]\overline{v}=\frac{x_3}{Δt}=\frac{6m}{1s}=6m/s[/math][br]这也是第3s中间时刻[math]t_{2.5}=2.5s[/math]的瞬时速度，[math]v_{2.5}=\overline{v}=6m/s[/math][br][math]a=\frac{v_{2.5}}{t_{2.5}}=2.4m/s^2[/math][br]第3s末的速度[math]v_3=at_3=7.2m/s[/math][/color]

[color=#0000ff][b]例3[/b]：物体做匀加速直线运动，已知它在第1个3s内的位移为24m，第2个4s内的位移为64m，求物体的加速度大小。[/color][br][br][color=#ff0000]解析：[br][img]https://s2.loli.net/2024/10/23/E9ipkCeNmKHV54h.jpg[/img][br]第1个3s内的平均速度等于这段时间的中间时刻[math]t_{1.5}=1.5s[/math]时的速度，即[math]v_{1.5}=\frac{Δx_1}{Δt_1}=\frac{24m}{3s}=8m/s[/math][br]第2个4s内的平均速度等于这段时间的中间时刻[math]t_6=6s[/math]时的速度，即[math]v_6=\frac{Δx_2}{Δt_2}=\frac{64m}{4s}=16m/s[/math][br]加速度[math]a=\frac{v_6-v_{1.5}}{t_6-t_{1.5}}=\frac{16-8}{6-1.5}m/s^2=\frac{16}{9}m/s^2[/math][/color]

实验中我们处理纸带数据，要计算瞬时速度，也是利用这个推论。[br][br][color=#0000ff][b]例4[/b]：在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，电源频率为50Hz。[/color][color=#0000ff]某同学用如图1所示的装置，打出的一条纸带如图2所示，其中[i]ABCDE[/i]为计数点，相邻两个计数点之间还有4个点未画出。[br]则打点计时器打下[i]C[/i]点时小车的瞬时速度大小为____________[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22964de2a093c97a8755dbe70487735e.svg[/img]；[/color][br][img width=638px,height=117px]https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/10/9/8b6e6a29-c02a-425c-9afe-06f2c678af15.png[/img][br][br][color=#ff0000]解析：[br]相邻两计数点时间间隔[math]T=0.1s[/math]。[br]C点是B、D这段运动的的中间时刻位置，[math]v_C=\frac{x_{BD}}{2T}=\frac{(8.40-2.40)10^{-2}}{2\times0.1}m/s=0.30m/s[/math][/color]

[size=150][b]三、思维拓展[/b][/size][br][br]对于匀变速直线运动来说，v-t图像是一条倾斜直线，只要这条直线确定了，这个匀变速直线运动也就唯一确定了。[br][br]在数学上，我们确定一条直线的方式有两种，一是通过截距和斜率；二是找到两个不重合的点。[br][br]对应在物理中，确定一个匀变速直线运动的方式：[br][br]一是知道初速度和加速度；[br][br]二是找到两个不相同的时刻和对应的瞬时速度。[br][br][img]https://s2.loli.net/2024/10/23/zLArBmFbf9XRIOx.png[/img][br][br]前面所学的基本公式都是基于初速度和加速度，用的是第一种方式。[br][br]平均速度推论则可以帮我们确定一个时刻的瞬时速度，是用第二种思路解题的的利器。[br][img]https://s2.loli.net/2024/10/23/bv68yaxtUlWHFsY.png[/img]