[size=150][b]一、竖直上抛运动的基本规律[br][br][/b][/size]我们把物体以一定的初速度[math]v_0[/math]竖直向上抛出，物体在只受重力作用下的运动就叫竖直上抛运动。物体竖直上抛过程中只受重力的影响，加速度为重力加速度[math]g[/math]。[br][br]以竖直向上为正方向，则加速度为[math]-g[/math]。

我们在处理竖直上抛运动问题时，可以分段去处理，也可以直接全程去处理。

[size=150][b]二、竖直上抛运动的对称性[/b][/size][br][br]假设物体运动到最高点的时间为[math]t_1[/math]，[math]0-t_1[/math]这段时间，物体可以看成逆向的自由落体运动；[math]t_1-t[/math]这段时间，物体做自由落体运动。[br][br]从全程来看，物体两次经过某点A时的时间和速度会关于最高点呈对称性。

[size=150][b]三、竖直上抛运动的典型问题[/b][/size]

[b]1、基本规律的运用[/b][br][br][color=#0000ff][b]例1[/b]：（多选）某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取向上为正方向，[i]g[/i]取10m/s[sup]2[/sup]，则5s内物体的（　　）[/color][table][tr][td][color=#0000ff]A．路程为65m[/color][/td][td][color=#0000ff]B．位移为25m[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]C．速度改变量为50m/s[/color][/td][td][color=#0000ff]D．平均速度为5m/s[/color][/td][/tr][/table][br][color=#ff0000]解析：[br]直接以全程运动去处理，[br][math]h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2=25m[/math]，B正确；[br][math]\overline{v}=\frac{h}{t}=5m/s[/math],D正确[br][math]v=v_0-gt=-20m/s，Δv=v-v_0=-50m/s[/math]，C错误；[br]路程需要分段去看：[br]竖直上升阶段[math]t_1=\frac{v_0}{g}=3s[/math][br][math]h_1=\frac{v_0^2}{2g}=45m[/math][br]自由下落阶段[math]t_2=t-t_1=2s[/math][br]自由下落位移[math]h_2=\frac{1}{2}gt_2^2=20m[/math][br]路程[math]s=h_1+h_2=65m[/math]，A正确[br]选ABD。[br][br][/color][color=#0000ff][b]例2[/b]：升降机以速度[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dc444f1027eee6838d72c90bf535fbc3.svg[/img]匀速竖直上升，升降机内的天花板上有一个螺丝帽突然松脱，脱离天花板。已知升降机天花板到其地板的高度为[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1db11a243163a3082dbbde854e40f08d.svg[/img]。求：[br](1)螺丝帽上升的时间；[br](2)螺丝上升至最高点时，螺丝与升降机的地板之间的距离[br](3)螺丝帽落到地板上时，升降机的地板上升的位移。（本题[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/799edf593e3ba2b2372a83d9782be3a2.svg[/img]）[br][br][/color][color=#ff0000]解析：[br]螺丝帽突然脱落不会马上做自由落体运动，它会因为惯性继续往上运动一段，等效于竖直上抛运动。[br]以向上为正方向。[br]（1）上升时间[math]t_1=\frac{v}{g}=0.5s[/math][br]（2）螺丝上升至最高点时，对地位移[math]h_1=\frac{v^2}{2g}=1.25m[/math][br] 地板向上位移[math]h_2=vt_1=2.5m[/math][br] 此时和螺丝帽和地板距离[math]Δh=h-(h_2+h_1)=1.95m[/math][br]（3）假设螺丝落到地板的时间是t，螺丝帽的位移[math]h_3=vt-\frac{1}{2}gt^2[/math][br] 地板的位移[math]h_4=vt[/math][br] 由题知：[math]h_4-h_3=h[/math][br] 代入解得：[math]t=0.8s,h_4=4m[/math][/color]

对于距离抛出点一段距离的问题，注意其多解性。[br][br][color=#0000ff][b]例3[/b]：在一个足够深的井口正上方将一个小球以初速度[math]v_0=15m/s[/math]竖直上抛，不计空气阻力，则经过多长时间小球能够到达距离抛出点[/color][color=#0000ff][math]10m[/math]的地方（重力加速度[i]g[/i]取[math]10m/s^2[/math]）（　　）[/color][table][tr][td][color=#0000ff]A．1s[/color][/td][td][color=#0000ff]B．3s[/color][/td][td][color=#0000ff]C．[math]\frac{3+\sqrt{17}}{2}[/math]s[/color][/td][td][color=#0000ff]D．2s[/color][/td][/tr][/table][color=#ff0000]解析：[br]以向上为正，假设经过时间t后在抛出点上方5m处，则有[br][math]v_0t-\frac{1}{2}gt^2=10m[/math][br]代入解得：[math]t_1=1s[/math]或[math]t_2=2s[/math][br]若物体在抛出点下方5m，则有[br][math]v_0t-\frac{1}{2}gt^2=-5m[/math][br]解得[math]t_1=\frac{3+\sqrt{17}s}{2}[/math]或[math]t_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}s[/math](舍去)[br]故选ACD。[/color]

对连续两次经过同一点的，要善于利用竖直上抛运动的对称性。[br][b][br][color=#0000ff]例4[/color][/b][color=#0000ff]：一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点[/color][math]a[/math][color=#0000ff] 的时间间隔是[/color][math]T_a[/math][color=#0000ff]，两次经过一个较高点[/color][math]b[/math][color=#0000ff] 的时间间隔是[/color][math]T_b[/math][color=#0000ff]，重力加速度为[/color][math]g[/math][color=#0000ff]，求[/color][math]a[/math][color=#0000ff]、[/color][math]b[/math][color=#0000ff] 之间的距离.[br][/color][br][color=#ff0000]解析：[br]根据时间的对称性，物体从[math]a[/math] 点到最高点的时间为[math]\frac{T_a}{2}[/math]，从[math]b[/math]点到最高点的时间为[math]\frac{T_b}{2}[/math][br][br][math]a[/math] 点到最高点的距离[math]h_a＝\frac{1}{2}g\left(\frac{T_a}{2}\right)^2[/math][br][br][math]b[/math]点到最高点的距离[math]h_b＝\frac{1}{2}g\left(\frac{T_b}{2}\right)^2[/math][br][br]故[math]a[/math]、[math]b[/math]之间的距离为[math]h_a－h_b＝\frac{1}{8}g(T_a^2－T_b^2)[/math][/color]

[b]2、类竖直上抛运动[br][br][/b]对于球以一定初速度滚上光滑斜面的问题，其规律和竖直上抛运动类似，只是加速度[math]a[/math]不为[math]g[/math]。[br][br][color=#0000ff][b]例1[/b]：[/color][color=#0000ff](多选)一物体以[/color][math]5m/s[/math][color=#0000ff] 的初速度在光滑斜面上向上匀减速运动，其加速度大小为[/color][math]2m/s^2[/math][color=#0000ff]，设斜面足够长，经过[/color][math]t[/math][color=#0000ff] 时间物体位移的大小为[/color][math]4m[/math][color=#0000ff]，则时间[/color][math]t[/math][color=#0000ff]可能为[/color][color=#0000ff]( )[br]A.1s B.3s C.4s D.[/color][math]\frac{5+\sqrt{41}}{2}s[/math][br][br][color=#ff0000]解析：[br]以沿斜面向上为正方向，[math]v_0=5m/s，a=-2m/s^2[/math]。[br]当物体的位移为[math]4m[/math] 时，[math]4m＝v_0t＋\frac{1}{2}at^2[/math][br]解得[math]t_1＝1s，t_2＝4s[/math][br]当物体的位移为[math]－4m[/math]时，[math]-4m＝v_0t＋\frac{1}{2}at^2[/math][br]解得[math]t_3＝\frac{5＋\sqrt{41}}{2}[/math][br]故ACD 正确.[/color]

[b]3、竖直上抛运动与自由落体运动的追及相遇[br][br][/b][color=#0000ff][b]例1[/b]：一长为[i]L[/i]的金属管从地面以[i]v[/i][sub]0[/sub]的初速度竖直上抛，管口正上方高[i]h[/i]处有一小球同时自由下落，金属管落地前小球从管中穿过。已知重力加速度为[i]g[/i]，不计空气阻力，不考虑金属管落地后的反弹，问：[br][img width=104px,height=148px]https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/10/18/1f7aa683-7145-4aff-bee8-3fe1ae25ccb8.png[/img][br](1)若小球在金属管上升阶段穿过管，则[i]v[/i][sub]0[/sub]需要满足什么条件？[br](2)若小球在穿过管的过程中，金属管一直处于下降阶段，则[i]v[/i][sub]0[/sub]需要满足什么条件？此时[i]h[/i]和[i]L[/i]需要满足什么关系？（本题所有结果不必取“=”号）[br][/color]

[color=#0000ff][b]例2[/b]：如图所示，[i]AB[/i]为空心圆管、C为可视为质点的小球，[i]AB[/i]长度为[i]L[/i]=2m，[i]AB[/i]与C在同一竖直线上，[i]AC[/i]之间距离为[i]h[/i]=8m。零时刻，[i]AB[/i]做自由落体运动，C从地面以初速度[i]v[/i][sub]0[/sub]开始做竖直上抛运动，[i]g[/i]取10m/s[sup]2[/sup]。若圆管、小球落地后均不反弹。则下列说法中正确的是（　　）[br][img width=95px,height=168px]https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/10/23/b447e424-a807-44f6-a4f7-dc2c2472effc.png[/img][br][/color][table][tr][td][color=#0000ff]A．若要使小球在[i]AB[/i]落地前从[i]A[/i]端穿过[i]AB[/i]，则[i]v[/i][sub]0[/sub]应至少为2.5m/s[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]B．若要使小球在上升过程中从[i]A[/i]端穿过[i]AB[/i]，则[i]v[/i][sub]0[/sub]应至少为10m/s[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]C．若[i]v[/i][sub]0[/sub]=8m/s，则共有三个时刻小球C与圆管[i]A[/i]端距离为2m[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]D．若[i]v[/i][sub]0[/sub]=12m/s，则稍降低[i]AC[/i]之间距离[i]h[/i]后，小球C从[i]A[/i]端穿过[i]AB[/i]的用时将减少[/color][/td][/tr][/table]