[size=100][size=150]Wir wollen den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse im Intervall [a;b] annähern. Das Intervall wird dazu in n gleich breite Teile zerlegt.[/size][/size]
Integralbegriff - Einführung
Ober- und Untersumme
Wir wollen den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=-0,2x\left(x-10\right)[/math] im Intervall [0;5] bestimmen. Die Fläche nähern wir mit Rechtecken an. Einmal liegen diese komplett unterhalb des Funktionsgraphen (Untersumme U) und einmal oberhalb (Obersumme O).[br][br][b]Aufgabe:[br][/b]Fertige eine Wertetabelle für f(x) im angegebenen Intervall mit Schrittweite 1 an!
Untersumme
Aufgabe:
Berechne den Wert der Untersumme U (also den Flächeninhalt der lila Rechtecke)![br]Die Wertetabelle hilft Dir dabei.[br]Kreuze die richtige Antwort an!
Obersumme
Aufgabe
Berechne den Wert der Obersumme O (also den Flächeninhalt der blauen Rechtecke)![br]Die Wertetabelle hilft Dir dabei.[br]Kreuze die richtige Antwort an!
Der tatsächliche Flächeninhalt liegt zwischen den beiden berechneten Werten. Er kann beliebig nahe angenähert werden, wenn man die Rechtecksbreite kleiner werden lässt und somit mehr Rechtecke bilden kann.[br][br][b]Aufgabe:[/b][br]Bewege den Schieberegler im Applet unten und beobachte die Annäherung von s und S an den tatsächlichen Flächeninhalt!
Annäherung an den wirklichen Flächeninhalt
Verallgemeinerung und Annäherung des Flächeninhalts durch beliebig viele Rechtecke
Frage 1
Was gilt für die Streifenbreite [math]\Delta x[/math]?
Frage 2
Wie kann man die "Teilpunkte" [size=150][math]a,x_1,x_2,x_3,...;x_n[/math][/size] bestimmen?
Aufgabe
Stelle jeweils einen Term für U und O auf, wenn die Spaltenbreite [math]\Delta x[/math] beträgt![br]Stelle außerdem einen Term für die Differenz O-U auf!