[size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][right][color=#980000]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](Mai 2021)[/b][/i][/color][br][/right][/size][/size][/size][/size][br]Wenn eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] mindestens 2 [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] besitzt, so läßt sie sich [br]mit einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbius-Transformation[/b][/i][/color] in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math] [br]darstellen durch eine implizite Gleichung des Typs:[br][/size][list][*][size=85][math]\lambda\cdot\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math] mit [math]\lambda\in\left\{0,1\right\}[/math][/size], [math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math] [size=85]und[/size] [math]A_x,B_y\in\mathbb{R}[/math][br][/*][/list][size=85][color=#cc0000][u][i][b]Begründung[/b][/i][/u][/color]: Verschiedene [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] sind orthogonal. [br]Also kann man die Quartik so [/size][size=85][size=85]transformieren, dass[/size] sie symmetrisch zu den Koordinatenachsen liegt,[br]die Normierung von [math]\lambda[/math] und [math]\delta[/math] erreicht man durch Streckung.[br]Die einzigen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], welche man nicht in obiger [b]Normalform[/b] darstellen kann, sind die [br][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierten[/b][/i][/color] von [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color]: diese besitzen nur [i][b]einen[/b][/i] [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color].[br][br][color=#cc0000][i][b]Klassifikation: [/b][/i][/color][br][/size][list][*][size=85][math]\lambda=1,\delta=1[/math]: [/size][size=85][b]2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color]. [br]Diese sind in Normalform [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]-Achse, [br]zur [math]y[/math]-Achse, [/size][size=85]zum [color=#B45F06][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] und zu einem weiteren imaginären Kreis[/size][br][/*][*][size=85][math]\lambda=1,\delta=-1[/math]: [b]1[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] - [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]- und zur [math]y[/math]-Achse.[/size][br][/*][*][size=85][math]\lambda=1,\delta=0[/math]: Inverse eines 2-achsigen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color], invertiert am [/size][size=85][size=85][color=#B45F06][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size] [/size][/*][*][math]\lambda=0[/math]: [size=85]ein zu den Koordinaten-Achsen symmetrischer [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color].[/size][br][/*][/list][size=85]In allen Fällen sind die Grenzfälle - Produkt zweier [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] oder [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] - enthalten. [br][br][size=85][color=#cc0000][i][b]Scheitelpunkte:[/b][/i][/color][br][list][*][color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] mit der [math]x[/math]-Achse: [math]\[ \mbox{ }s_x:=\left\{ \begin{array}\pm\sqrt{\frac{\delta}{2\cdot A_x}}+0\cdot i &\mbox{ für }\lambda=0\\ \pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x\;^2-\delta}}+0\cdot i &\mbox{ für }\lambda\ne0 \end{array} \right. \][/math][/*][*][size=85][color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color][/size] mit der [math]y[/math]-Achse: [math]\mbox{ }s_y:=\left\{ \begin{array}\pm i\cdot\sqrt{\frac{\delta}{2\cdot B_y}} & \mbox{ für }\lambda=0\\ \pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y\;^2-\delta}} &\mbox{ für }\lambda\ne0 \end{array}\right. [/math][/*][*][color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] mit dem [color=#B45F06][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]: [math]\mbox{ }s_E:=\pm\sqrt{\frac{B_y-\frac{\left(\delta+\lambda\right)}{2}}{B_y-A_x}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{A_x-\frac{\left(\delta+\lambda\right)}{2}}{A_x-B_y}}[/math][/*][/list][/size][/size]

[size=85][color=#cc0000][u][i][b]Brennpunkte:[br][/b][/i][/u][/color][br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besitzen [b]4[/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]; für die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] fallen [b]2[/b] der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammen.[br]Die einzelnen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] gehören stets zu einer Schar [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularar Quartiken[/b][/i][/color].[br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [b]2[/b]-teiligen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] und die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] der [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] sind [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color].[br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [b]1[/b]-teiligen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] liegen [color=#0000ff][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br][br]Zur Berechnung der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]: mit [math]Q_{xy}:=\frac{A_x\cdot B_y-\delta\cdot\lambda}{B_y-A_x}[/math] erhält man[br][list][*][math]\[ f_{xy}:=\left\{ \begin{array}{} \pm\sqrt{\delta\cdot\left( \frac{1}{2\cdot A_x}-\frac{1}{2\cdot B_y}\right) +0\cdot i} & \mbox{ für } \lambda=0 \\ \pm\sqrt{Q_{xy}\pm\sqrt{Q_{xy}\;^2-\delta\cdot\lambda+0\cdot i}} & \mbox{ für }\lambda\ne0\end{array}\right.\][/math][br][/*][/list][color=#ff7700][color=#000000]Erstaunlicherweise liefert diese [i][b]komplexe[/b][/i] Formel auch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], wenn diese auf dem [color=#B45F06][i][b]Einheitskreis [/b][/i][/color]liegen! [/color][i][b][br]Quartiken[/b][/i][/color] der [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] Schar sind bestimmt durch einen [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkt[/b][/i][/color] [math]s_x[/math] auf der [math]x[/math]-Achse, bzw. [math]s_y[/math] auf der [math]y[/math]-Achse.[br]Die [i][b]Koeffizienten[/b][/i] berechnen sich mit Vorgabe von [math]s_x[/math]:[br][list][*][math]AC_x:=\left\{\begin{array}{}\frac{\delta}{2\cdot s_x\;^2} & \mbox{ für } \lambda=0 \\ \frac{1}{2}\cdot\left(s_x\;^2+\frac{\delta}{s_x\;^2}\right) & \mbox{ für } \lambda\ne0 \end{array} \right.[/math] und [math]BC_y:=\left\{ \begin{array}{}\frac{\delta\cdot AC_x}{\left(\delta-2\cdot AC_x\cdot f_{xy}\;^2\right)} & \mbox { für }\lambda=0 \\ \frac{AC_x\cdot Q_{xy}-\delta}{Q_{xy}-AC_x} & \mbox{ für }\lambda\ne0 \end{array} \right.[/math][/*][/list]bzw. mit Vorgabe von [math]s_y[/math]:[br][list][*][math] BC2_y:=\left\{ \begin{array}{}\frac{-\delta}{s_y\;^2} & \mbox{ für }\lambda=0 \\ \frac{-1}{2}\cdot\left(s_y\;^2+\frac{\delta}{s_y\;^2}\right) & \mbox{ für }\lambda\ne0 \end{array}\right.[/math] und [math]AC2_x:=\left\{\begin{array}{}\frac{\delta\cdot BC2_y}{\left(\delta+2\cdot f_{xy}\;^2\cdot BC2_y\right)} & \mbox{ für }\lambda=0 \\ \frac{BC2_y\cdot Q_{xy}+\delta}{Q_{xy}+BC2_y} & \mbox{ für }\lambda\ne0 \end{array}\right.[/math][/*][/list]Mit diesen Formeln, welche teilweise [i][b]komplex[/b][/i] gerechnet werden, werden die oben dargestellten [br][color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] ermittelt.[br][br][color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] ermöglicht problemlos[i][b] komplexe [/b][/i]Rechenschritte, zB. rechnet die [color=#9900ff][i][b]Wurzelfunktion[/b][/i][/color] [i][b]komplex[/b][/i], [br]wenn der Radikant erkennbar [i][b]komplex[/b][/i] ist. Dies erklärt die oben verwendeten "Tricks".[br][/size]