[b]Definição:[br][br][/b]Seja [br][br] [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math][br] [math]X=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\quad\mapsto\quad F\left(X\right)=\left(f_1\left(X\right),f_2\left(X\right),...,f_m\left(X\right)\right)[/math][br][br]Definimos a derivada parcial de [math]F[/math] com respeito a variável [math]x_i[/math], no ponto [math]X_0=\left(x_{10}.x_{20},...,x_{n0}\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(F\right)[/math] denotada por [math]\frac{\partial F}{\partial x_i}\left(X_0\right)[/math], como [br][br] [math]\frac{\partial F}{\partial x_i}\left(X_0\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{F\left(x_{10},...,x_{i0}+h,...x_{n0}\right)-F\left(x_{10},...,x_{i0},...,x_{n0}\right)}{h}[/math][br][br]se este limite existe.[br][br]Observe que, como o limite de uma função vetorial, quando ele existe, é o vetor formado pelos limites de cada uma das suas funções coordenadas em suas respectivas posições, ou seja, ele é calculado tomando-se os limites de cada uma das suas funções coordenadas, temos que:[br][br] [math]\frac{\partial F}{\partial x_i}\left(X_0\right)=\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_i}\left(X_0\right),...,\frac{\partial f_m}{\partial x_i}\left(X_0\right)\right)[/math][br][br]Em particular, se [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq R^2\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], o vetor [math]\frac{\partial F}{\partial x}\left(X_0\right)[/math] é tangente à curva[math]F\left(X_{_0}+t\left(1,0\right)\right),t\in\mathbb{R}[/math], no ponto [math]F(X_0)[/math]. Analogamente, [math]\frac{\partial F}{\partial y}\left(X_0\right)[/math] é um vetor tangente à curva [math]F\left(X_0+t\left(0,1\right)\right),t\in\mathbb{R}[/math] no ponto [math]F(X_0)[/math]. Se a função for diferenciável, estes dois vetores serão linearmente independentes e definirão o plano tangente à superfície imagem de F no ponto [math]F\left(X_0\right)[/math]. Isto é, a equação paramétrica do plano tangente à superficie parametrizada pela função [math]F[/math] no ponto [math]F\left(X_0\right)[/math] é:[br][br] [math](x,y,z)=F(X_0)+t\frac{\partial F}{\partial x}(X_0)+s\frac{\partial F}{\partial y}\left(X_0\right),\quad s,t\in\mathbb{R}[/math][br][br]No applet abaixo é possível observar a esquerda a derivada parcial de uma superfície parametrizada (toro), enquanto na direita é possível observar o domínio, a imagem e o plano tangente! Sinta-se livre para manipular o ponto A e observar como a derivada parcial se comporta. [br][br][color=#ff0000]Obs: Ao clicar nas caixas da derivada parcial irão aparecer uma curva verde nas outras abas. A aba central representa o domínio, nessa aba a curva verde representa a direção na que se calcula a derivada parcial, respeito de s ou de t. Na aba direita apresentamos outra curva verde que representa o traço da curva anterior, dado pela parametrização, na superfície. Os vetores apresentados nessa aba representam as derivadas parciais, respeito de s ou t, no ponto A, observe que são vetores tangentes à superfície e a cada curva apresentada (respetivamente) no ponto A, esses dois vetores geram o plano tangente que pode ser visualizado ao clicar na terceira caixa.[/color]

No applet abaixo é possível observar com mais profundidade a relação entre as derivadas parciais de primeira ordem e o plano tangente a superfície. Sinta-se livre para inserir novas funções vetoriais de várias variáveis e observar as distintas imagens e planos tangentes![br]