[quote][i]Si dice radice n-esima di un numero reale a quel numero b che elevato ad[br]n dà come risultato a. In simboli [math]\sqrt[n]{a}[/math]= b ⇔ b[math]^n[/math]= a con n ∈ N, n [math]\ge[/math] 2.[br]Non si definisce la radice di indice 0 e la scrittura √0 a è priva di significato. Alla[br]scrittura √1 a si dà il valore a[/i][/quote][b]Condizioni di esistenza:[/b][br]Quando il radicando è un’espressione letterale dobbiamo fare molta attenzione a operare[br]su di esso. Le condizioni di esistenza, in breve si può scrivere C. E., di un radicale con radicando[br]letterale, sono le condizioni cui devono soddisfare le variabili che compaiono nel radicando[br]affinché la radice abbia significato.[br]Supponiamo di avere pn A(x) con A(x) espressione nella variabile x, dobbiamo distinguere[br]i seguenti casi:[br]➡ se n è pari la radice esiste per tutti i valori di x che rendono non negativo il radicando,[br]cioè C. E. A(x) > 0;[br]➡ se n è dispari la radice esiste per qualsiasi valore della variabile x, purché esista il[br]radicando stesso.[br][br][br][b]Potenze ad esponente razionale:[br][list][*]Caso con esponente positivo[/*][/list][/b]Elevando ambo i membri dell’uguaglianza alla potenza n[br]otteniamo: [math]\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\left\langle a^x\right\rangle^n[/math] da cui si ottiene a =[math]a^{n\cdot x}[/math] . [br]Trattandosi di due potenze con base a[math]\ge[/math]0, l’uguaglianza è resa possibile solo se sono uguali gli esponenti. In altre parole, deve[br]essere: 1 = n · x ⇒ x = [math]\frac{1}{n}[/math], quindi: [math]\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}[/math].[br]Vediamo ora di generalizzare la formula. Sia m un numero intero positivo, possiamo[br]scrivere [math]a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)[/math] e quindi [math]a^{\frac{m}{n}}=\left\langle\sqrt[n]{a}\right\rangle^m[/math].[br][list][*][b]Caso con esponente negativo[/b][/*][/list]Per definire la potenza ad esponente razionale negativo è[br]necessario imporre la restrizione a [math]\ne[/math] 0, infatti risulta: [math]a^{^{ }-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\left\langle\frac{1}{a}\right\rangle^{\frac{m}{n}}[/math].[br][br][quote]Si dice potenza a esponente razionale [math]\frac{m}{n}[/math] di un numero reale positivo a[br]l’espressione: [math]a\frac{m}{n}=\left\langle\sqrt[n]{a}\right\rangle^m[/math] con[math]\frac{m}{n}\in Q[/math].[/quote][b][br][br]Semplificazione di radici:[br][/b][quote]Il valore di una radice in R+ ∪ {0} non cambia se moltiplichiamo l’indice della[br]radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo. In simboli [math]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[nt]{a^{mt}}[/math] con [math]a\ge0[/math] e m,n,t [math]\in[/math] N - (0).[/quote][b][br]Moltiplicazione e divisione di radici:[/b][br]Prima di operare con i radicali letterali, è necessario determinare le condizioni di esistenza:[br]il prodotto di due radicali esiste là dove sono soddisfatte le condizioni di esistenza di tutti i[br]fattori; il quoziente esiste là dove sono soddisfatte le condizioni di esistenza di dividendo e[br]divisore, con il divisore diverso da zero.[br][br][b][br]Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso radicando:[/b][br]Per effettuare la moltiplicazione o la divisione tra radici aventi lo stesso radicando si[br]possono trasformare le radici in forma di potenze con esponente razionale e utilizzare le[br]proprietà delle potenze.[br][br][b][br]Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso indice:[/b][br]Il prodotto di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha per indice lo stesso[br]indice e per radicando il prodotto dei radicandi:[br][math]\sqrt[n]{a}\ast\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}[/math][br]Allo stesso modo, il quoziente di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha[br]per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi:[br][math]\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\Longrightarrow\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.[/math][br]Per rendersi conto di questa proprietà si possono trasformare le radici in potenze ad[br]esponenti razionali e applicare le proprietà delle potenze:[br][math]\sqrt[n]{a}\ast\sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}\ast b^{\frac{1}{n}}=\left\langle ab\right\rangle^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ab},\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}:b^{\frac{1}{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.[/math].[br]

[b]Moltiplicazione e divisione di radici con indici diversi:[/b][br]Per moltiplicare o dividere radici con indici differenti è necessario prima ridurre le radici[br]allo stesso indice, cioè trasformarle in radici equivalenti con lo stesso indice usando la proprietà[br]invariantiva. Dopo aver ottenuto radici con lo stesso indice si applica la regola precedente.[br][br][b][br]Portare un fattore sotto il segno di radice:[/b][br]Per portare un fattore dentro il segno di radice bisogna elevarlo all'indice della radice:[br][math]a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\ast b}[/math] se n è pari e a [math]\ge[/math]0[br][math]a\sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^n\ast b}[/math] se n è pari e a [math]<[/math]0[br][math]a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\ast b}[/math] se n è dispari[br]Ricordando che abbiamo posto [math]\sqrt[1]{a}[/math] = a, portare un fattore sotto radice equivale a svolgere[br]la moltiplicazione tra una radice di indice 1 e una radice di indice n qualsiasi.[br][br][b]Portare un fattore fuori dal segno di radice:[/b][br]È possibile portare fuori dal segno di radice quei fattori aventi come esponente un numero[br]che sia maggiore o uguale all'indice della radice. In generale si inizia scomponendo in fattori irriducibili il radicando, ottenendo un radicale del tipo [math]\sqrt[n]{a^m}[/math] con m[math]\ge[/math]n.[br][list][*][b]I° modo[/b]: si esegue la divisione intera m : n ottenendo un quoziente q e un resto r. Per la proprietà della divisione si ha m = n · q + r quindi [math]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a^{n\ast q+r}^{ }^{ }}[/math] e per le proprietà delle potenze e [math]\sqrt[n]{a^{n\ast q+r}}=\sqrt[n]{\left\langle a^q\right\rangle^n\ast a^r}[/math]n per la regola del prodotto di due radici con medesimo indice si ottiene:[/*][/list] [math]\sqrt[n]{a^{n\ast q+r}}=\sqrt[n]{\left\langle a^q\right\rangle^n\ast a^r}[/math][math]=\sqrt[n]{\left\langle a^q\right\rangle^n}\ast\sqrt[n]{a^r}=a^q\ast\sqrt[n]{a^r}[/math] con r<0[br][list][*][b]II° modo[/b]: si può trasformare la potenza del radicando nel prodotto di due potenze con la stessa base; una avente esponente multiplo dell’indice della radice e l’altra avente per esponente la differenza tra l’esponente iniziale e il multiplo trovato. Consideriamo il seguente esempio:[/*][/list] [math]\sqrt[3]{a^8}[/math]= . . . il multiplo di 3 più vicino a 8 è 6, quindi[br] [math]\sqrt[3]{a^8}=\sqrt[3]{a^6\ast a^2}=\sqrt[3]{a^6}\ast\sqrt[3]{a^2}=a^2\ast\sqrt[3]{a^2}.[/math][br][br]Quando portiamo fuori dalla radice un termine letterale dobbiamo verificare se l’indice[br]della radice è pari o dispari e se il termine che portiamo fuori è positivo o negativo. In[br]particolare:[br][math]\sqrt[n]{a^nb}=a\sqrt[n]{b}[/math] se n è dispari[br][math]\sqrt[n]{a^nb}=\left|a\right|\sqrt[n]{b}[/math] se n è pari

[b]Potenza di radice e radice di radice:[/b][br]Per elevare a potenza una radice si eleva a quella potenza il radicando: [br][math]\left\langle\sqrt[n]{a}\right\rangle^m=\sqrt[n]{a^m}[/math][br]Si capisce il perché di questa proprietà trasformando, come negli altri casi, la radice in potenza con esponente frazionario: [math]\left\langle\sqrt[n]{a}\right\rangle^m=\left\langle a^{\frac{1}{n}}\right\rangle^m=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.[/math][br][br][br]La radice di un’altra radice è uguale a una radice con lo stesso radicando e con indice il[br]prodotto degli indici delle radici: [math]\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\ast n]{a}[/math]. Anche questa proprietà si può spiegare[br]con le proprietà delle potenze trasformando la radice in potenza con esponente frazionario: [math]\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\left\langle a^{\frac{1}{n}}\right\rangle^{^{\frac{1}{m}}}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[m\ast n]{a}[/math].[br]

[b]Somma di radicali:[/b][br][quote][i]Si dice radicale un’espressione del tipo [/i][math]a\sqrt[n]{b}[/math][i] con a e b numeri reali, b[/i][math]\ge[/math][i]0[br]ed n ∈ N. Il numero a prende il nome di coefficiente del radicale.[/i][/quote]Operare con i radicali è simile al modo di operare con i monomi. Infatti è possibile[br]effettuare somme algebriche soltanto se i radicali hanno lo stesso indice e lo stesso radicando,[br]mentre si possono sempre effettuare moltiplicazioni e divisioni dopo averli ridotti allo stesso[br]indice.[br][quote]Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.[/quote]È possibile effettuare somme algebriche soltanto se i radicali sono simili, si eseguono le[br]somme allo stesso modo in cui si eseguono le somme algebriche dei monomi.[br]Attenzione, l’operazione [math]\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}[/math] è errata in quanto i radicali addendi non sono[br]simili poiché hanno lo stesso indice (2) ma non lo stesso radicando.

[b]Razionalizzazione del denominatore di una frazione:[/b][br]Nel calcolo di espressioni che contengono radicali può capitare che al denominatore[br]compaiano dei radicali. Per semplificare l’espressione e migliorare l’approssimazione si cerca[br]di evitare questa situazione e operare affinché non compaiano radicali al denominatore.1[br]Questa operazione prende il nome di [i]razionalizzazione del denominatore[/i].[br]Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire quindi trasformare una frazione in[br]una frazione equivalente avente per denominatore un’espressione nella quale non compaiano radici.[br][br][b]I° Caso[/b]: la frazione è del tipo [math]\frac{a}{\sqrt{b}}[/math],[br]Per razionalizzare il denominatore di una frazione di questo tipo basta moltiplicare[br]numeratore e denominatore per [math]\sqrt{b}[/math] che prende il nome di [i]fattore razionalizzante[/i]:[br][math]\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\ast\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}.[/math][br][br][b]II° Caso:[/b] la frazione è del tipo [math]\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}[/math] con n>m.[br]In questo caso il fattore razionalizzante è [math]\sqrt[n]{b^{n-m}}[/math]. Infatti si ha:[br][math]\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}=\frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m}\ast\sqrt[n]{b^{\left\langle n-m\right\rangle}}}=\frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m\ast b^{n-m}}}=\frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{b}[/math][br]Nel caso in cui n < m, prima di razionalizzare possiamo portare fuori dalla radice parte[br]del radicando[br][br][b]III° Caso[/b]: la frazione è del tipo [math]\frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/math] oppure [math]\frac{x}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}[/math] [br]Per questo tipo di frazione occorre sfruttare il prodotto notevole (u + v)(u − v) = [math]u^2-v^2[/math]ponendo [math]\sqrt[2]{a}=u[/math] e [math]\sqrt[2]{b}=v[/math] si moltiplicano numeratore e denominatore per il fattore che ci consente di ottenere al denominatore [math]u^2-v^2[/math] cioè [math]\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}[/math]. Il fattore razionalizzante nel primo caso è quindi [math]\sqrt{a}-\sqrt{b}[/math] e nel secondo è [math]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/math].[br]Sviluppiamo solo il primo caso, poiché il secondo è del tutto analogo:[br][br][b]IV° Caso:[/b] la frazione è del tipo [math]\frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+}[/math][br]Anche in questo caso si utilizza il prodotto notevole della differenza di quadrati, solo che[br]l’operazione va ripetuta più volte.[br][br][b]V° Caso: [/b]la frazione è del tipo [math]\frac{x}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}[/math] oppure [math]\frac{x}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}[/math].[br]In questo caso si utilizza il prodotto notevole (u + v)([math]u^2-uv+v^2[/math]) = [math]u^3+v^3[/math] e quello analogo (u − v)[math]\left\langle u^2+uv+v^2\right\rangle=u^3-v^3[/math]; ponendo [math]\sqrt[3]{a}=u[/math] e [math]\sqrt[3]{b}=v[/math] si moltiplicano numeratore e denominatore per il fattore che ci consente di ottenere al denominatore [math]u^3+v^3[/math] o [math]u^3-v^3[/math], cioè [math]\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}[/math] o [math]\sqrt[3]{a^3}-\sqrt[3]{b^3}[/math]. Sviluppiamo soltanto il primo caso:[br] [math]\frac{x}{\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}}[/math]=[math]\frac{x}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}[/math][math]\ast\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{x\left\langle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right\rangle}{\left\langle\sqrt[3]{a}\right\rangle^3+\left\langle\sqrt[3]{b}\right\rangle^3}=\frac{x\left\langle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right\rangle}{a+b}[/math].

[b]Radicali doppi:[/b][br][quote]Si dice radicale doppio un’espressione del tipo [math]\sqrt{a+\sqrt{b}}[/math] oppure [math]\sqrt{a-\sqrt{b}}[/math].[/quote][br]Se l’espressione [math]a^2-b[/math] è un quadrato perfetto, i radicali doppi possono essere trasformati[br]nella somma algebrica di due radicali semplici per mezzo della seguente formula:[br][math]\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt[]{a^2-b}}{2}}[/math].[br]

[size=85]La Spiegazione e gli esercizi appartengono al libro "Matematica C3 - Algebra 2, quarta edizione (versione completa a colori)" che puoi trovare sul sito www.matematicamente.it.[/size]