Solange die Grundfläche der beiden Pyramiden den gleichen Flächeninhalt besitzt haben sämtliche Querschnitte auch denselben Flächeninhalt

Nach dem Satz von Cavalieri haben diese beiden Pyramiden dasselbe Volumen (da alle Querschnittsflächen den gleichen Flächeninhalt haben). Das Volumen ist also unabhängig von der Form der Grundfläche und lediglich abhängig von deren Flächeninhalt.

Die gelbe Pyramide besitzt die Grundfläche die Grundfläche ACD und die Höhe [math]\mid AB\mid[/math].[br][br]Die lila Pyramide besitzt die Grundfläche ABC und die Höhe [math]\mid AD\mid[/math]. [br][br]Damit sind alle drei Pyramiden volumengleich.

Das Prismenvolumen ist [math]V_{Prisma}=G\cdot h[/math][br][br]Damit folgt für die Pyramide: [math]V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot V_{Prisma}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h[/math][br][br]und in obigem Spezialfall: [math]V_{dreiseitigePyramide}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\mid AB\mid\cdot\mid AC\mid\right)\cdot\mid AD\mid[/math][br][br]Im Folgenden genügt uns die allgemeine Formel [math]V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h[/math]

Im ersten Applet wird die Pyramide mit zwei weiteren Pyramiden zu einem Würfel ergänzt, was genau die Volumenformel widerspiegelt. (Es gilt: [math]V_{Würfel}=a\cdot a\cdot a=G\cdot h[/math])[br][br]Im zweiten Applet werden insgesamt 6 Pyramiden zu einem Quader ergänzt. Der Quader hat als Höhe die doppelte Pyramidenhöhe. Damit folgt: [br][math]V_{Quader}=G\cdot2h=a\cdot a\cdot2h[/math][br]und [math]V_{Pyramide}=\frac{1}{6}\cdot V_{Quader}=\frac{1}{6}\cdot G\cdot2h=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h[/math]