Im Beispiel oben kann man hier die „Kästchen zählen“, 3 hoch und 4 breit, also ist die Steigung [math]m=\frac{3}{4}[/math]
Grafisches Ableiten - ein Rezept
Wenn der Funktionsgraf einer Funktion [math]f(x)[/math] gegeben ist, dann kann man den Grafen der Ableitung qualitativ skizzieren. Dazu braucht man nur das grundlegende Wissen über Steigungen. [br]Die [b]Ableitungsfunktion[/b] einer Funktion [math]f(x)[/math] ist die [b][color=#980000]Steigungsfunktion[/color][/b], sie gibt an jeder Stelle [math]x[/math] an, wie groß die Tangentensteigung des Funktionsgrafen der Funktion [math]f[/math] ist.
Abschätzen von Steigungen bei linearen Funktionen
Bei linearen Funktionen ist das Berechnen von Steigungen mit dem Differenzenquotienten möglich. Veranschaulicht wird das in der Regel mit dem Steigungsdreieck, das hier zwischen den Punkten A und B eingezeichnet wurde. Dann gilt: [math]m = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x} =[br]\frac{f(b_x)-f(a_x)}{b_x-a_x}[/math][br]
Wenn man Steigungen abschätzt, dann kann man sich ein Steigungsdreieck einzeichnen oder auch nur vorstellen: Eine Funktion, die „genau so schnell nach oben wie zur Seite geht“, hat die Steigung [math]m=1[/math]. Das entspricht einem Steigungswinkel von 45°.[br]Ist das Steigungsdreieck doppelt so hoch wie breit, dann ist die Steigung [math]m=2[/math].[br]Ist das Steigungsdreieck nur ein Drittel so hoch wie breit, dann ist die Steigung [math]m=\frac 13[/math].[br]Wenn Sie das nicht vor Augen haben, zeichnen Sie sich lineare Funktionen auf, mit den Steigungen [math]1[/math], [math]2[/math] und [math]\frac{1}{3}[/math]
Grafisches Ableiten einer beliebigen Funktion
Beim grafischen Ableiten kommt es in der Regel nicht auf sehr genaue Funktionswerte an. Der Funktionsgraf der Ableitungsfunktion soll qualitativ sinnvoll wiedergegeben werden. [br]Man sucht sich zuerst die [b]Extremstellen[/b] heraus, an denen die [b]Steigung[/b], also die [b]Ableitung[/b], leicht abzulesen ist. Denn das sind alle [b][color=#980000]Stellen mit der Steigung Null[/color][/b]. An diesen Stellen kann man schon einmal ein Kreuz auf der x-Achse machen. Dieses sind die [b]Nullstellen unserer Ableitungsfunktion[/b].
Dort, wo die Steigung Null ist, ist der Funktionswert unserer Ableitungsfunktion auch Null. Daher machen wir an diesen Stellen ein Kreuz auf der Abszisse.
Dann kann man zum Beispiel die [b]Wendepunkte[/b] ansehen, bei denen die Steigung [b][color=#980000]extrem steil (am steilsten)[/color][/b] oder [b][color=#980000]extrem flach (am flachsten)[/color][/b] ist. Hier können Tangenten eingezeichnet werden und die Steigung wird abgeschätzt wie oben beschrieben. An den Stellen, also den [math]x[/math]-Koordinaten, der Wendepunkte macht man dann ein Kreuz mit der abgeschätzten Steigung als [math]y[/math]-Koordinate. Diese Kreuze sind die Extrempunkte unserer Ableitungsfunktion.
Dort, wo die Steigung extrem ist, wird die Steigung abgeschätzt. Das Kreuz für unsere Ableitungsfunktion hat als y-Koordinate die geschätzte Steigung.
Man kann natürlich noch beliebig viel mehr Tangenten und Punkte der Ableitungsfunktion hinzufügen. Schließlich [b][color=#980000]verbindet man die Punkte mit einer glatten Linie[/color][/b].
Mit einer schön runden ununterbrochenen (stetigen) Linie werden die Punkte miteinander verbunden. Die grünen Kreuze bei den Wendestellen sind die Hoch- und die Tiefpunkte der Ableitungsfunktion.