Im letzten Kapitel wurden die Bedingungen rein mathematisch formuliert. Hier werden Beispiele aufgeführt, wie so eine Bedingung in einer Aufgabe mit Bezug auf Wirtschaftsthemen klingen könnte.

Diese Bedingungen werden auch dann verwendet, wenn [b]Nullstellen[/b] gegeben sind. Dann ist die y-Koordinate [b]gleich Null[/b].[br][br]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Kostenfunktion[/b][/color]: [list][*][color=#980000][b][color=#000000]Die Kosten bei einer Ausbringungsmenge von[/color][/b] [/color][math]x=3ME[/math] [b](ME = Mengeneinheiten) betragen[/b] [math]12GE[/math] (GE = Geldenheiten). Hier ist der Punkt [math](3|12)[/math], also [math]K(3)=12[/math] [/*][*]Die [b]Stückkosten[/b] bei einer Ausbringungsmenge von [math]x=3[/math] betragen [math]4GE/ME[/math]. Aus den Stückkosten kann man mit [math]K(x)=x\cdot k(x)[/math] leicht wieder die Kosten berechnen: Also lautet die Bedingung hier auch: [math]K(3)=3\cdot4=12[/math][br][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Erlösfunktion[/b][/color]: [br][list][*]Bei einer Erlösfunktion ist [b][color=#980000]immer[/color] automatisch der Punkt[/b] [math](0|0)[/math] [b]enthalten[/b], da man genau keinen Erlös hat, wenn man nichts verkauft, also [math]E(0)=0[/math].[br][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Gewinnfunktion[/b][/color]: [list][*]Bei einer Menge von [math]6ME[/math] [b]macht[/b] das Unternehmen [b]einen [color=#980000]Gewinn[/color] von[/b] [math]18GE[/math]. Dann ist die Bedingung: [math]G(6)=18[/math][br][/*][*][b]Der break-even-point liegt bei[/b] [math]x=4,5ME[/math]. Hier ist eine Nullstelle gegeben, bzw. der Punkt [math](4,5|0)[/math]. Die Bedingung ist: [/*][*]Die [b][color=#980000]Fixkosten[/color][/b] sind [math]750GE[/math]. Hier ist die Bedingung [math]G(0)=-750[/math][/*][*]Das Unternehmen [b]macht [/b]bei seiner Kapazitätsgrenze von [math]15ME[/math] [b]einen [color=#980000]Verlust[/color] von[/b] [math]2500GE[/math]. Dann lautet die Bedingung: [math]G(15)=-2500[/math][br][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Produktlebenszyklus-Funktion[/b][/color]: [list][*]Das Produkt[b] kommt[/b] Ende September ([math]t=9[/math]) [b]auf den Markt[/b]. Also [math]a(9)=0[/math].[/*][*]oder: Das Produkt wird Ende März ([math]t=3[/math]) [b]vom Markt genommen[/b]. [math]a(3)=0[/math][/*][*]oder: Der[b] Umsatz beträgt[/b] Ende Mai ([math]t=5[/math]) genau [math]5670GE[/math]. Also [math]a(5)=5670[/math][br][/*][/list]

Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Kostenfunktion[/b][/color]: [br][list][*][b]Die [color=#980000]Grenz[/color]kosten betragen bei einer Ausbringungsmenge von[/b] [b]7,34 ME[/b] [b]genau[/b] [b]5,5 GE/ME. [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]K'(7,34)=5,5[/math][/*][/list][list][*]oder: [b]Die Kosten [color=#980000]ändern[/color] sich bei einer Ausbringungsmenge von[/b] [b]7,34 ME[/b] um [b]5,5 GE/ME.[/b] Dann lautet die Bedingung wie oben: [math]K'(7,34)=5,5[/math][/*][*]oder: [b]Die [color=#980000]Langfristige Preisuntergrenze[/color] im Betriebsoptimum von[/b] [math]x_{BO}=7,34ME[/math] [b]ist bei [/b][math]5,5GE/ME[/math]. Weil es gilt: [math]K'(x_{BO})=LFPU[/math], ist hier auch die Bedingung [math]K'(7,34)=5,5[/math][/*][*]oder: [b]Die [color=#980000]Kurzfristige Preisuntergrenze[/color] im Betriebsminimum [/b][math]x_{BM}=7,34ME[/math] [b]liegt bei 5,5 GE/ME[/b]. Da [math]K'(x_{BM})=KFPU[/math], gilt [math]K'(x_{BM})=5,5[/math][br][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Erlösfunktion[/b][/color]:[br][list][*][b]Bei einer Ausbringungsmenge von 8,2ME [color=#980000]ändert[/color] sich der Erlös um -2 GE/ME[/b].[b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]E'(8,2)=-2[/math][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Gewinnfunktion[/b][/color]:[br][list][*][b]Der [color=#980000]Grenz[/color]gewinn bei einer Ausbringungsmenge von x=7 ME beträgt 6GE/ME[/b]. [br][b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]G'(7)=6[/math][/*][/list][list][*]Bei einer Menge von [math]45ME[/math] [b]nimmt der Gewinn[/b] um [math]7,3GE/ME[/math] [b]ab[/b]. Also: [math]G'(45)=-7,3[/math].[br][/*][/list]

Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Erlösfunktion[/b][/color]:[br][list][*][b]Der [color=#980000]maximale[/color] Erlös wird bei x = 6,4 ME erzielt[/b]. [b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]E'(6,4)=0[/math][/*][*][b]Bei einer Ausbringungsmenge von x = 7 ME ist der [color=#980000]Grenzerlös gleich Null[/color][/b]. [b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]E'(7)=0[/math][br][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Gewinnfunktion[/b][/color][list][*][b]Die gewinn[color=#980000]maximale[/color] Ausbringungsmenge ist x = 10,5 ME[/b]. [b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]G'(10,5)=0[/math][/*][*][b]der [color=#980000]Cournot'sche Punkt[/color] ist [/b][math](10,5ME|6GE/ME)[/math]. [b] [/b]Dann lauten die Bedingungen: [math]G'(10,5)=0[/math] und [math]p(10,5)=6[/math][/*][*][b]Das Unternehmen erzielt den [color=#980000]größten[/color] Gewinn bei x = 20 ME[/b].[b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]G'(20)=0[/math][/*][/list]Gesucht ist die Funktion der [color=#6aa84f][b]variablen Stückkosten[/b][/color][br][list][*][b]Das [color=#980000]Betriebsminimum[/color] ist bei [/b][math]x_{BM}=34ME[/math]. [b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]k'_v(34)=0[/math][/*][*][b]Die variablen Stückkosten sind bei x= 21ME [color=#980000]am geringsten[/color][/b].  Dann lautet die Bedingung: [b][math]k'_v(21)=0[/math][br][/b][/*][/list]

Hier geht es in der Regel um [b][color=#980000]extreme Änderungen[/color][/b]:[br]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Gewinnfunktion[/b][/color]:[br][list][*][b]Der Gewinn [color=#980000]wächst[/color] bei einer Ausbringungsmenge von x = 15 ME [color=#980000]am schnellsten[/color][/b]. [b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]G''(15)=0[/math][/*][*][b]Bei x=41 ME [color=#980000]nimmt[/color] der Gewinn [color=#980000]am schnellsten ab[/color][/b]. [b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]G''(41)=0[/math][br][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Kostenfunktion[/b][/color]:[br][list][*][b]Der Kosten[color=#980000]zuwachs[/color] ist bei x = 5 ME [color=#980000]am geringsten[/color][/b].[b] [/b]Dann lautet die Bedingung: [math]K''(5)=0[/math][/*][/list]Gesucht ist eine [color=#6aa84f][b]Produktlebenzyklusfunktion[/b][/color]:[br][list][*]Der Umsatz [color=#980000][b]wuchs[/b][/color] nach 2,5 Monaten [color=#980000][b]am schnellsten[/b][/color]. Also [math]a''(2,5)=0[/math][/*][*]Nach 7 Monaten [b][color=#980000]ging[/color][/b] der Umsatz [color=#980000][b]am schnellsten zurück[/b][/color]: [math]a''(7)=0[/math][br][/*][/list][br]