Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]x_0\in D\left(f\right)[/math], se la funzione è derivabile in [math]x_0[/math] allora in quel punto sarà anche continua.

Per ipotesi la funzione è derivabile in [math]x_0[/math], quindi[br][math]\exists\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)[/math][br]Essendo [math]f'\left(x_0\right)[/math] un numero, lo si porta a primo membro dell'uguaglianza e all'interno del limite, ovvero[br][math]\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)=0[/math][br]da cui facendo il mcd si ottiene:[br][math]\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot(x-x_0)}{x-x_0}=0[/math][br]Se si analizza quest'ultima espressione si può affermare che:[br][list][*]il denominatore tende evidentemente a zero con ordine d'infinitesimo 1[/*][*]il valore del limite è zero[/*][/list]quindi il numeratore deve per forza tendere a zero e, per le regole di confronto tra infinitesimo, con un ordine d'infinitesimo maggiore di 1, ovvero[br][math]\lim_{ x \to x_0}f(x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot(x-x_0)=0[/math][br]Sviluppando il limite si ottiene:[br][math]\lim_{ x \to x_0}f(x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot(x-x_0)=0 \rightarrow \lim_{ x \to x_0}f(x)-f(x_0)=0 \rightarrow \lim_{ x \to x_0}f(x)=f(x_0)[/math][br]ovvero la funzione è continua in [math]x_0[/math].

In generale invertendo ipotesi e tesi del teorema, la proposizione non vale, ovvero non è detto che se una funzione è continua in [math]x_0[/math] allora in quel punto sia anche derivabile.[br][br]Nell'attività proposta nel controesempio si osserva come la derivata sinistra e destra in x=0 siano diverse, quindi anche se la funzione è continua in 0 non è derivabile.

Muovi il punto x sull'asse delle ascisse e osserva come varia la derivata.

La derivabilità è pertanto una proprietà più "forte" della continuità, ovvero la continuità è condizione necessaria per la derivabilità (non sufficiente).