La cocinera Ana y su pinche de cocina Pedro han cocinado 60 pasteles en su obrador en cierto tiempo.[br][list][*]Pedro puede hacer unas [b][color=#134f5c]3 bandejas[/color][/b] de pasteles en [b][color=#351c75]75 minutos[/color][/b].[/*][*]Ana prepara unas [color=#134f5c][b]4 bandejas[/b][/color] en [b][color=#351c75]50 minutos[/color][/b].[/*][/list][b]¿Cuántos ha preparado cada uno? [/b][br]En principio, estas situaciones pueden parecer complicadas de resolver de cabeza, pues [br][list][*]si bien, [color=#351c75]cuanto más tiempo tarde[/color] una persona en preparar las bandejas, [color=#351c75]menos pasteles[/color] puede tener listos en un número de horas determinado. Es decir, el reparto es [color=#351c75]inversamente proporcional[/color] al tiempo.[/*][*]también es cierto que [color=#134f5c]cuantas más bandejas[/color] prepare, obviamente [color=#134f5c]más pasteles[/color] preparará en ese número de horas. Esto es, el reparto es [color=#134f5c]directamente proporcional[/color] al número de bandejas.[br][/*][/list]Pensándolo un poco, podemos decir que [br][list=1][*]Pedro va a una velocidad de [math]\frac{3\,bandejas}{75\,minutos}=0,04\,\sfrac{bandejas}{min.}[/math], mientras que Ana las prepara a una velocidad de [math]\frac{4\,bandejas}{50\,minutos}=0,08\,\sfrac{bandejas}{min.}[/math]. [/*][*]La relación entre pasteles y velocidad es directa (cuanto más rápido preparen las bandejas, más pasteles terminarán en cierto tiempo), así que podemos hacer un reparto directamente proporcional.[/*][*]Al ser proporcional, podemos simplificar multiplicando estas cantidades por el número que queramos; en este caso 100 (o, mejor, [math]\sfrac{100}{4}[/math]), y hacer el reparto proporcional a 4 y 8, con lo que Ana hará el doble de pasteles, y podemos concluir que Pedro habrá hecho 20 y Ana 40.[br][/*][*]¿Qué hemos hecho al razonarlo así?[br][list][*]En los pasos 1 y 2 hemos combinado las dos magnitudes: bandejas y tiempo, multiplicándolas, pero primero invirtiendo (dividiendo) el tiempo, pues la relación era inversa.[/*][*]Así, en el paso 3 hemos podido resolverlo como un reparto directamente proporcional, aplicando la técnica que nos pareciese más conveniente.[/*][/list][/*][/list][br]En esta actividad aprenderemos a generalizar este razonamiento para resolver situaciones similares, en las que hay que repartir una cantidad de forma proporcional a otras magnitudes. Por simplificar, una será inversa y otra directa. [br]Ten en cuenta que lo más importante en estos problemas es saber reconocer el tipo de relación.[size=85][br](*) En estos enlaces puedes aprender a resolver ejercicios de [url=https://www.geogebra.org/m/gypa3hxn]reparto proporcional directo[/url] y [url=https://www.geogebra.org/m/mpb7bktk]reparto proporcional inverso[/url].[br](*) Si quieres ejercicios con ejemplos más variados de relación en proporcionalidad compuesta, puedes [url=https://www.geogebra.org/m/rrvd9gca]visitar este enlace[/url].[br][/size]
Pulsa en el botón [i]"¡Comenzamos![/i]" para empezar a resolver tus propios ejercicios[list=1][*]Pulsando en "pista", los ejercicios muestran la solución paso a paso, así que puedes usar los primeros ejercicios para aprender a plantear y resolver.[/*][*]Conforme vayas haciendo más problemas, te resultará más fácil y, poco a poco, no necesitarás la ayuda del applet.[/*][*]Aunque se asignan puntuaciones a los ejercicios, [b]debes resolverlos por tu cuenta en tu libreta[/b], procurando que el proceso se entienda bien y sea fácil de leer. Por ejemplo, usando tablas como las del applet. Presta mucha atención a la justificación que incluyes de por qué la relación es directa o inversa. La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[/*][*]Un buen consejo podría ser comenzar estructurando en la libreta los datos del enunciado, indicando en líneas separadas o en forma de tabla, la cantidad a repartir, entre quiénes se reparte y los valores de las magnitudes involucradas.[/*][*]Para entender mejor los ejercicios, te vendrá bien probar con alguna de las ampliaciones que se indican más abajo (apartado "Saber más").[br][/*][/list]
En la proporcionalidad compuesta, multiplicamos las variables para trasladarlo a un problema de proporcionalidad directa. Además, si alguna de ellas estaba relacionada de forma inversa, primero hay que calcular su inverso.[br]El resultado es que las variables directamente proporcionales aparecen multiplicadas (en el numerador), y las inversamente proporcionales aparecen en el denominador (también multiplicadas entre sí). En en la siguiente ficha puedes ver [url=https://www.geogebra.org/m/XmExnfvt][b]ejercicios de proporcionalidad compuesta[/b] (clic para ir)[/url] y en esta otra, [url=https://www.geogebra.org/m/e5wtkgte]ejercicios resueltos mediante la [b]constante de proporcionalidad[/b] (clic para ir)[/url].[br][br]Como hemos visto en la situación de ejemplo y en los ejercicios del applet, esto mismo se puede aplicar a los repartos proporcionales para calcularlos cómodamente con el método que utilicemos habitualmente para resolver repartos proporcionales.
Para aprender más de estos ejercicios, te proponemos fijarte en algunas cosas:[br][list=1][*][b]Podemos obtener más información[/b] de la que se nos pregunta.[br]Por ejemplo, si nos dicen que hemos comprado 15 litros de aceite, y sabemos que 5 litros valían a 8€/kg y los otros 10 a 12€/kg, podemos ya calcular:[br][list][*]Cuánto dinero nos hemos gastado en cada tipo de aceite 5·8=40€ en el primero y 10·12=120 en el segundo.[/*][*]Cuánto dinero nos hemos gastado en total. En este caso, 40+120=160€.[/*][*]El precio medio al que hemos comprado ese aceite. En este caso, [math]\sfrac{160\,€}{15\,litros}[/math]=10,67€/litro.[/*][/list]Cuando resuelvas los ejercicios en la libreta, puedes razonar qué información es posible obtener e incluirla. [br]Es posible que tu profesor/a te pida que lo hagas para poder evaluar la nota del applet.[/*][*]Realmente, [b]no es necesario reducir a común denominador[/b] antes de hacer el correspondiente reparto de proporcionalidad directa.[br][list][*]Por ejemplo, podríamos hacer las divisiones con la calculadora y operar con los números decimales obtenidos (es decir, indicar 0,5 en lugar de 1/2, o 0,33 en lugar de 1/3 y así no tener que reducir a denominador común, que sería 6).[/*][*]Prueba a resolver así alguno de los ejercicios, pero avisa primero a tu profesor/a e indica en la libreta que ese ejercicio lo vas a resolver operando con decimales.[/*][/list][/*][*]Los enunciados se han generado un poco "al azar" para que resulten cálculos no muy complicados.[br]Puede que encuentres algún problema en el que los [b]datos[/b] no te cuadran con la [b]realidad[/b]. No te preocupes; apúntalos para debatirlo en clase y propón algún ajuste que podría haber en esas cantidades (no hace falta resolverlo con esos nuevos números).[/*][/list]
Cuando ya sepamos resolver este tipo de ejercicios, conoceremos un poco cómo se estructuran.[br]Es el momento de plantear y resolver nosotros un problema de reparto inversamente proporcional.[br]Tendrás que entregarlo junto con el resto de problemas resueltos en la libreta. [br][br]Debes elegir una [b]situación diferente[/b] a las que aparecen en el [b]applet[/b] (por ejemplo, no vale una en que llenemos un depósito con varios grifos).[br]Como ayuda, aquí tienes un pequeño guion:[br][list=1][*]Asegúrate de que hay tanto [b]proporcionalidad directa[/b] como inversa [b]inversa[/b]. [/*][*]Establece los valores de las magnitudes entre las que hay que repartir. [br][list][*]El valor del total a repartir lo dejaremos para el final.[/*][*]Elige números sencillos para los denominadores, porque luego habrá que calcular su MCM para reducir a denominador común.[/*][/list][/*][*]Resuelve la parte de simplificar los coeficientes reduciendo a denominador común, y calcula el correspondiente total.[/*][*]Multiplica ese total por algún número sencillo, como 2, 3 o 10, y establece ese número como "total a repartir".[/*][*]¡Ya tienes los datos del problema junto su solución! Intenta que la redacción del problema resulte original. Redacta también la solución, incluyendo cómo justificas que la relación es inversa.[br][/*][/list]
[size=85]Imágenes del [url=https://programacrea.educarex.es]programa CREA[/url] (CC BY-SA)[br]y los iconos de [url=https://openclipart.org/]openclipart[/url] (public domain):[br][list][*]https://openclipart.org/detail/287830/play-on-the-beach[/*][*]https://openclipart.org/detail/272517/diverse-meeting[/*][*]https://openclipart.org/detail/75661/under-construction[/*][*]https://openclipart.org/detail/171442/olive-oil[/*][*]https://openclipart.org/detail/31135/barbecue[/*][/list][/size]