Binomialkoeffizient

Nach dieser Einheit hat sich Folgendes verändert:

[list][*]Du kennst den Begriff des Binomialkoeffizienten[br][/*][*]Du kannst den Binomialkoeffizienten berechnen[/*][/list]

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Der Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ([i]Bi [/i]- zwei, [i]Nomen[/i] - benannte Dinge, [i]Koeffizient[/i] - zusammen Wirkendes) wird verwendet, um darzustellen, dass aus einer Menge mit n Elementen k Elemente ausgewählt werden sollen. Er gibt an, wie viele verschiedene Varianten es dafür gibt.[br]Wir schreiben[br][math]\binom{n}{k}[/math] [br]und sagen [br]"n über k".[br]Die Auswahl von 3 Smarties aus fünf gegebenen schreibst du[br][math]\binom{5}{3}[/math].

Anwendung

Welche der folgenden Situationen lassen sich mit einem Binomialkoeffizienten mathematisch beschreiben?

Auf der Speisekarte stehen acht Zutaten für Pizza. Wie viele verschiedene Pizzen mit je vier verschiedenen Zutaten kann man daraus machen? In der U-Bahn sind noch sechs Plätze frei. Wir sind zu dritt. Wie viele Möglichkeiten haben wir, uns jeweils unterschiedlich hinzusetzen? Familie Putz hat fünf Mitglieder. Wenn zwei davon im Garten sind, wie wahrscheinlich ist es, dass das die beiden Eltern sind? Auf der Speisekarte stehen acht verschiedene Pizzen. Wenn Emine, Lars und Bogdan je eine Pizza bestellen, wie viele Möglichkeiten haben sie dafür? 12 Spielerinnen bilden ein Basketballteam. Aber nur fünf können gleichzeitig am Feld sein. Wie viele Möglichkeiten hat die Trainerin, das Feld zusammenzustellen? Auf der Speisekarte stehen acht Zutaten für Pizza. Wie viele verschiedene Pizzen kann man daraus machen? Sophie hat acht verschiedene Socken. Auf wie viele Arten kann sie diese paarweise kombinieren? 15 Spieler bilden das Fußballteam, nur elf dürfen gleichzeitig spielen. Wie viele Möglichkeiten hat der Trainer, wenn Kilian oder Franz im Tor stehen müssen, und Gernot keinesfalls Stürmer sein darf? Lukas möchte mehr Sport machen. Er interessiert sich für Laufen, Handball, Radfahren, Fechten und Taekwondo. Es gehen sich aber nur zwei Sportarten neben der Schule aus. Wie viele Wahlmöglichkeiten hat er?

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Zahlen verwenden

Notiere zu den richtigen Antworten jeweils den Binomialkoeffizienten auf deinem Arbeitsblatt.

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Anwendung allgemein

Du kennst nun Situationen, in denen der Binomialkoeffizient angewendet werden darf. Welche allgemeinen Regeln lassen sich nun ableiten?

Die obere Zahl ist die Anzahl der ausgewählten Elemente. Der Binomialkoeffizient beschreibt eine Auswahl von k beliebigen Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Dabei darf jedes Element nur einmal ausgewählt werden. Der Binomialkoeffizient kann beliebig viele Variablen enthalten. Im Binomialkoeffizienten können n und k beliebige reelle Zahlen sein. Der Binomialkoeffizient sagt aus, wie viele Kombinationen der Elemente möglich sind. Der Binomialkoeffizient beschreibt eine Auswahl von k beliebigen Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Dabei dürfen Elemente auch mehrmals ausgewählt werden. Der Binomialkoeffizient sagt, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Element ausgewählt wird. Die obere Zahl ist die Anzahl der Elemente in der Grundmenge. Der Binomialkoeffizient besteht aus zwei Variablen.

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Berechnung

Was hast du davon, das so aufzuschreiben? Bis jetzt noch nichts - aber jetzt erfährst du, dass es für das Ausrechnen eine Formel gibt:[br][math]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math][br]Damit lassen sich diese Situationen supereinfach ausrechnen. Hier ist ein Beispiel:[br][math]\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10[/math][br]Das hast du schon irgendwann einmal herausbekommen, oder?[br]Was ist hier geschehen? Die Formel wurde aufgeschrieben, dann das n-k ausgerechnet, dann die Fakultät in Faktoren aufgeschrieben, dann gekürzt, dann ausmultipliziert und noch einmal gekürzt.[br]Mit kleinen n und k geht das ganz einfach.