La optimización es útil para identificar los niveles de producción y comercialización más favorables para una empresa, es decir, aquellos que resulten en menores costos, mayores ingresos por lo tanto mayor utilidad.[br][br][br][b]FUNCION DE COSTO TOTAL[/b][br]El Costo Total (CT) es la suma del Costo Fijo y el Costo Variable, representando la totalidad de recursos empleados por la empresa, además de los gastos relacionados con diferentes niveles de producción, es factible determinar los gastos por unidad de producto.[br]Veamos un ejemplo practico: [br]Supongamos que la función de costos está dada [b]C(x)=20000+40x[/b]

[b]FUNCIÓN DE INGRESO [/b][br]En las ecuaciones de demanda, el precio es uno de los factores más importantes a considerar cuando tomamos la decisión de comprar un artículo, mientras más bajo sea su precio, más rápidamente se venden y viceversa. [br][br]El ingreso total de la empresa es el resultado de multiplicar el precio por el número de unidades producidas y vendidas. El ingreso marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más.[br][br]Siguiendo el mismo ejemplo la función de Ingreso es I(x)=100x-0.01x[sup]2[/sup]

[b]FUNCIÓN DE UTILIDAD[/b][br]La producción y ventas ideales no son las que generan los menores costos, ni las que generan mayores ingresos, sino las que dejan las mayores utilidades.[br]Las perdidas se encuentran por debajo del eje x, el punto de equilibrio se encuentra en la intersección con este eje (x) y la utilidad se representa por la parte de la gráfica que se encuentra encima del mismo eje x.[br]Las ganancias no siguen aumentando después de alcanzar el máximo, ya que a partir de ese punto el ingreso disminuye y el costo aumenta, lo que provoca que la diferencia entre ellas, o sea, la utilidad, sea cada vez menor.[br][br]Ahora siguiendo el ejemplo practico si necesitamos conocer la función de utilidad de la empresa debemos hacer la resta entre la función de ingreso y la función de costo.[br]Si tenemos la función de costo en [b]C(x)=20000+40x[/b] y la de Ingreso [b]I(x)=100x-0.02x[/b][sup][b]2[/b][br][/sup]quedaría:[br]U(x)=100x-0.02x[sup]2[/sup]-20000-40x[br][b]U(x)=-0.02x[sup]2[/sup]+60x-20000[/b]

[b]LA DERIVADA PARA LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN[/b][br][br]Ahora vamos a conocer la aplicación de la derivada (función marginal) en este tipo de funciones, la función marginal es la razón de cambio cuando se agrega una cantidad adicional o bien se quita, lo que busca es medir en cambio instantáneo.[br][br]Veamos el ejemplo práctico en el que venimos trabajando, tenemos una función de utilidad [br]U(x)=-0.01x[sup]2[/sup]+60x-20000.[br]Si derivamos la función nos queda:[br]U'(x)=-0.02x+60 [br]Esta función obtenida nos sirve para conocer la utilidad que se tiene en un determinado número de unidad, por ejemplo que utilidad tendremos en la unidad #320, solo hacemos una sustitución en los valores de x.[br]U'(320)=-0.02(320)+60[br]U'(320)=-6.4+60[br]U'(320)=53.6[br]Concluimos que la utilidad marginal en la unidad #320 es de 53.6 a partir de esa unidad la utilidad puede aumentar o disminuir.[br]Sustituyamos otro valor para ver su comportamiento, unidad #3000[br]U'(3000)=-0.02(3000)+60[br]U'(3000)=-60+60[br]U'(3000)=0[br]Un último ejemplo unidad #3320[br]U'(3320)=-0.02(3320)+60[br]U'(3320)=-66.4+60[br]U'(3320)=-6.4[br]Por lo que se entiende que en la unidad #3320 tendremos pérdida.[br][br]Estas funciones son de utilidad en las empresas para conocer hasta que número de unidad es conveniente producir para tener solo utilidades y no pérdidas.[br]En la siguiente gráfica podemos ver por arriba del eje de las x, las unidades puntuales que representan una ganancia y por debajo del eje x las que representan pérdidas para la empresa.