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Funktionsuntersuchung mit Mitteln der Analysis
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1. Welche Arten von Extrempunkten gibt es?
- Untersuchung einer bel. Funktion auf Extremstellen
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2. Hoch- und Tiefpunkte
- Extrema und Tangenten
- Extrema und Krümmung
- Sattelpunkte: der lästige Fall
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3. Krümmung und Wendepunkte
- Krümmung und Wendepunkte
- Wendepunkte und zweite Ableitung
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4. Zusammenfassung
- Die Punkte und die zu untersuchenden Kriterien
- Zusammenfassung
- Kurvendiskussion
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Funktionsuntersuchung mit Mitteln der Analysis
Dieter Walz, Mar 16, 2020
In diesem GeoGebra Buch weden die wesentlichen Themen der Funktionsuntersuchung in der Jahrgangsstufe des technischen Gymnasiums und des BK2 behandelt. Der Inhalt orientiert sich am Unterricht und ist um die im Unterricht verwendeten Applets aufgebaut. Hauptziel ist Wiederholung, Vertiefung des Stoffes und insbesondere die Prüfungsvorbereitung. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte und so soll dieses Buch und seine Applets die Zusammenhände der Differentialrechnung nochmals zusammendassung und visuell greifbar machen.
Table of Contents
- Welche Arten von Extrempunkten gibt es?
- Untersuchung einer bel. Funktion auf Extremstellen
- Hoch- und Tiefpunkte
- Extrema und Tangenten
- Extrema und Krümmung
- Sattelpunkte: der lästige Fall
- Krümmung und Wendepunkte
- Krümmung und Wendepunkte
- Wendepunkte und zweite Ableitung
- Zusammenfassung
- Die Punkte und die zu untersuchenden Kriterien
- Zusammenfassung
- Kurvendiskussion
Untersuchung einer bel. Funktion auf Extremstellen
Arten von Extrema
Geben Sie im Textfeld eine beliebige Funktion ein. Mit den Punkten a und b können Sie den Intervall Intervall [a,b], den Sie betrachten, frei wählen. Was sind Extrempunkte, was Randextrempunkte, was globale Extrema? Das Applet gib die Antwort.
Wenn Sie nun die Extrema innerhalb des Intervalls betrachten - also nicht die Randextrema - welche gemeinsame Eigenschaft haben alle Extrema?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die Extrema haben alle die Tangentensteigung 0, alo erste Ableitung 0
--> f'(x)=0! ist notwendiges Kriterium für einen Extrempunkt. Wenn f'(x)0 dann kein Extrempunkt!
Welche Arten von Extrempunkten innerhalb [a|b] gibt es? Wie kann man sie unterscheiden?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Hoch- und Tiefpunkte. Bei Hochpunkten sind alle Funktionswerte in der Umgebung des Hochpunktes kleiner, bei Tiefpunkten sind alle Funktionswerte in der Umgebung des Tiefpunktes größer
Abschließender Hinweis
Meist werden die Funktionen über ihren kompletten Definitionsbereich betrachtet, sodaß Randextrema bei Funktionsuntersuchungen nicht im Vordergrund stehen. Wichtig werden sie jedoch bei Anwendungen. Objekte der realen Welt erstrecken sich eben nicht von - bis +, sondern haben eine beschränkte Ausdehnung. Anwendungen erfordern (meist) eine Untersuchung der Randextrema
Extrema und Tangenten
Bewegen Sie den Punkt A mit der Tangente t(x) im Punkt A entlang der Funktion. Was fällt im Bereich der Extrempunkte auf? Beobachten Sie die Farbe der Tangente im Bereich der Extrempunkte.
Wie hängt die Tangentensteigung mit dem Auftreten von Extrempunktion zusammen?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Extrema haben alle f'(x)=0
Beobachten Sie anschließend den Verlauf der ersten Ableitung f'(x) und der Umgebung der Extrema. Was können Sie daraus an den Extremstellen schließen?
Was schließen Sie daraus Für die Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Hoch- und Tiefpunkte können durch Betrachtung des Vorzeichenwenchsels (VZW) der Steigung der Tangenten (d.h. der ABleitungsfunktion) unterschieden werden:
Tiefpunkt: VZW von - nach +
Hochpunkt: VZW von + nach -
Blenden Sie nun die erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) ein
Was stellen Sie bei der ersten Ableitung an Extremstellen fest?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die Ableitungsfunktion f'(x) hat eine Nullstelle.
Extrema sind Nullstellen der ersten Ableitung!
Blenden Sie nun die zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) ein
Welchen Wertebereich hat die zweite Ableitung f''(x) im Bereich von Hoch-, welchen im Bereich von Tiefpunkten?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Hochpunkte: f''(x)<0
Tiefpunkte: f''(x)>0
Krümmung und Wendepunkte
Verlauf der Tangentensteigung
Bewegen Sie mit Hilfe des roten Punktes die Tangente entlang des Graphen. Beschreiben sie nun den Verlauf der Tangentensteigung, d. h. der ersten Ableitung.
Wo ist die erste Ableitung positiv, wo negativ?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Links des ersten Minimums f'(x)<0 danach f'(x)>0 bis zum Maximum, danach f'(x)<0, bis zum zweiten Minimum, dann wieder positiv
Verlauf der Tangentensteigung zwischen den Extrema
Untersuchen Sie nun den Verlauf der Tangentensteigung zwischen den Extrempunkten. Wie verläuft der Werte der Tangentensteigung und damit der ersten Ableitung? Können Sie Aussagen über die Krümmung in den Bereichenzwischen den Extrema machen?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Vom ersten Minimum aus, wird die Tangentensteigung beginnend mit 0 immer größer erreicht zwischen den beiden Extrempunkten ein Maximum und wird dann immer kleiner über die Null (beim Maximum) weg und dreht ins Negative bis sie zwischen den beiden nächsten Extrema ein Minimum (negativer Wert) erreicht, dann steigt sie wieder an.
Es findet ein Übergang zwischen Links- und Rechtskrümmung statt
Verlauf der ersten Ableitung
Blenden Sie nun die erste Ableitung ein und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse
Grafische Überprüfung
Mit der "Heften" Funktion können Sie die Tangente an einem beliebigen Punkt kopieren und damit den Verlauf der Tangentensteigung und damit der ersten Ableitung entlang der Kurve grafisch nachvollziehen. Machen Sie sich mit dieser Funktion nochmals bewußt, dass die Tangentensteigung extremal wird
Die Punkte und die zu untersuchenden Kriterien
In diesem Applet können Sie nochmals die einzelnen Arten besonderer Punkte Revue passieren lassen. Außerdem die zugehörigen Kriterien in der Zusammenfassung einblenden.
Die blauen Pfeile symbilisieren das Krümmungsverhalten
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
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