[size=150][i][b]Grundwissen 1: Umrechnung Bogenmaß-Winkelmaß[/b][/i][/size][br]Starte mit der folgenden Verhältnisgleichung - sie beschreibt die Gleichheit der Winkelanteile am Vollkreis:[br][math]\frac{\alpha}{360°}=\frac{x_B}{2\pi}[/math].[br]Diese Gleichung kannst du leicht nach [math]\alpha[/math] auflösen: [math]\alpha=\frac{x_B}{2\pi}\cdot360°=\frac{x_B}{\pi}\cdot180°[/math]. Mit dieser Formel kannst du einen Winkel vom Bogenmaß schnell in das Gradmaß umrechnen.[br]Ist der Winkel nur im Gradmaß bekannt, folgt für den Winkel [math]x_B[/math] im Bogenmaß: [math]x_B=\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi=\frac{\alpha}{180°}\cdot\pi[/math].[br][i][b]Tipp: [/b][/i][br]In vielen Fällen erledigst du die Umrechnung elegant und ganz ohne Formel mithilfe von Anteilen am Vollkreis oder Anteilen am Halbkreis. [br]So ist zum Beispiel ein 45°-Winkel genau ein Viertel vom Halbkreis. Damit entspricht dem Winkel [math]\alpha=45°[/math] der Bogenmaß-Winkel [math]x_B=\frac{1}{4}\cdot\pi[/math] (im Bogenmaß besitzt ein Halbkreis exakt den Wert [math]\pi[/math]).[br][br][i][b][size=150]Grundwissen 2: Was haben Sinus und Cosinus mit dem oben dargestellten Einheitskreis zu tun?[/size][/b][/i][br]Um das zu verstehen, benötigt man 4 Dinge:[br][list=1][*]Ein Achsenkreuz (mit x- und y-Achse).[/*][*]Einen Einheitskreis (mit Radius 1), dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.[/*][*]Einen Punkt auf dem Einheitskreis.[/*][*]Den Satz des Pythagoras.[/*][/list][br]1. [b]Grundidee eines Kreises:[br][/b]Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand (Radius) zu einem festen Punkt, dem [b]Mittelpunkt[/b], haben. Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und einem Radius von [math]r=1[/math] (daher „Einheitskreis“), beträgt der Abstand jedes Punktes auf dem Kreis genau 1.[br][br]2. [b]Der Satz des Pythagoras:[br][/b]Wenn wir einen beliebigen Punkt auf dem Einheitskreis betrachten, nennen wir ihn P(x;y)]. Dieser Punkt hat einen Abstand von 1 zum Ursprung O(0;0). Dieser Abstand kann durch den Satz des Pythagoras beschrieben werden.[list][*]Der Abstand zwischen zwei Punkten [math]P(x1,y1)[/math] und [math]Q(x2,y2)[/math] im Koordinatensystem wird durch die Formel:[math]d=\sqrt{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}[/math]​gegeben.[/*][*]Für den Einheitskreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung O(0,0) und einem Punkt P(x,y) auf dem Kreis beträgt der Abstand:[math]d=\sqrt{x^2+y^2}[/math]​[/*][*]Da der Radius des Einheitskreises 1 ist, gilt:[math]\sqrt{x^2+y^2}=1[/math][/*][/list]3. [b]Die Kreisgleichung:[br][/b]Wenn wir beide Seiten quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren, erhalten wir:[math]x^2+y^2=1[/math][br]Dies ist die [b]Formel des Einheitskreises[/b].[br][br]4. [b]Allgemeiner Kreis: [/b]Die allgemeine Gleichung eines Kreises lautet: [math](x−a)^2+(y−b)^2=r^2[/math][br]Hierbei:[list][*][math](a,b)[/math] sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises,[/*][*]r ist der Radius des Kreises.[/*][/list]Für den [b]Einheitskreis[/b] ist der Mittelpunkt im Ursprung, also [math]a=0[/math] und [math]b=0[/math], und der Radius ist [math]r=1[/math], sodass sich die Formel zu: [math]x^2+y^2=1[/math]vereinfacht.[br][br]5. [b]Verbindung zur Trigonometrie:[/b]Der Einheitskreis spielt eine zentrale Rolle in der Trigonometrie. Für einen Winkel θ, gemessen von der positiven x-Achse, können die Koordinaten eines Punktes [math]P(x,y)[/math] auf dem Einheitskreis durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus beschrieben werden:[math]x=cos⁡(θ)[/math] und [math]y=sin⁡(θ)[/math][br]Das bedeutet, dass jeder Punkt auf dem Einheitskreis durch:[math](cos⁡(θ),sin⁡(θ))[/math][br]beschrieben werden kann, wobei der Radius 1 bleibt. Das erklärt auch, warum die Identität [math]sin⁡^2(θ)+cos⁡^2(θ)=1[/math] gilt: Diese Identität ist einfach die Einheitskreisgleichung in trigonometrischen Termen.[br][br]Damit können wir den Sinus und den Kosinus für beliebige Winkel im Winkelmaß und für beliebige Zahlen im Bogenmaß neu definieren:[br][center][math]cos\left(\alpha\right)=[/math]x-Wert von P[br][math]sin\left(\alpha\right)=[/math]y-Wert von P [br][/center]Für Winkel zwischen 0° und 90° (bzw. zwischen 0 und [math]\frac{\pi}{2}[/math]) findest du zu jedem Winkel ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge 1, sodass die alten Definitionen am Dreieck mit in die neue Definition eingebettet sind.[br][br][br][br][i][b][size=150]Eine Herausforderung für Mathe-Cracks:[/size][/b][/i][br]Was passiert mit dem Schaubild der auf die obige Weise definierten Sinusfunktion, wenn man den Einheitskreis [br][list=1][*]aus dem Ursprung zu einem neuen Mittelpunkt M(a,b) verschiebt(?)[/*][*]und zusätzlich seinen Radius von 1 auf einen anderen positiven Wert verändert?[/*][*]Wie müsste man eine Streckung des Schaubildes der Sinusfunktion mithilfe der y-Koordinate eines Kreispunktes im Koordinatensystem beschreiben?[br][/*][/list]