Al hacer una construcción, una obra de arte, etc., es natural que surja la pregunta:[br][quote]¿qué dimensiones usamos para que resulte lo más bonito y armonioso posible?[/quote]Es aquí cuando se conecta con las matemáticas para estudiar la relación que debe haber entre los diferentes elementos, como puede ser el ancho y el alto. Esta relación se denomina proporción.[br][list][*]Por ejemplo, una proporción [b]ancho:alto[/b] de [b]2:1[/b], significa que es el doble de ancho que de alto.[/*][*]Es algo que ya conocemos de las pantallas de televisión, tablets, etc. Una relación [b]ancho:alto[/b] de [b]16:9[/b] significa que por cada 16cm de ancho, hay 9 de alto.[/*][*]Ojo porque a veces se especifica al contrario, indicando primero el alto y luego el ancho. Suele ser conveniente fijarse en si la figura es más ancha o más alta, para estar seguros de a qué se refiere la proporción.[br][/*][*]A veces, por abreviar, denotamos esa proporción únicamente como valor del cociente. Para 16:9 diríamos que es 1,78 y para 4:3 diríamos que es 1,33.[br][list][*]En estos casos, que la denotamos mediante un número, sí que es imprescindible fijarse en cuál de los elementos será el mayor.[br][/*][*]Por cierto, para esas proporciones, ¿a cuáles de las "notables" se parece cada una? (más abajo podemos visualizar la lista).[/*][/list][/*][/list][br]Más abajo, en el apartado "principales proporciones" veremos la descripción de las más "notables". Pero primero, para familiarizarnos con ellas, podemos consultar los ejemplos que se muestran en el siguiente applet. [br](*) Para ver los detalles del funcionamiento del applet, ver el apartado "instrucciones", que hay tras él.[br][br]Los antiguos griegos y romanos dedicaron muchos esfuerzos a identificar las proporciones que consideraban más bellas. Generalmente estaban relacionadas con las relaciones entre los elementos de polígonos regulares, con lo que muchas de ellas no son números exactos. Es curioso notar que también otras civilizaciones, como la egipcia (ver ficha 9 de los ejemplos del applet) también utilizaban, de manera consciente o no, estas proporciones.[br]

[list][*]En la parte superior de la pantalla vemos el nombre de la imagen para analizar.[/*][*]Los [b]botones[/b] lila de la parte inferior nos permitirán [b]pasar[/b] de una [b]imagen[/b] a otra.[/*][*]Al cambiar de ficha, se eligen automáticamente algunos elementos para mostrar proporciones.[/*][*]Tenemos tres [b]herramientas[/b]: "Arco", "rectángulo 1" y "rectángulo 2" para hacer los análisis. [br][list][*]Marcando las casillas, podemos elegir mostrarlas y ocultarlas.[/*][*]En la lista desplegable podemos elegir qué [b]tipo de proporción[/b] visualizar.[/*][*]Los rectángulos pueden arrastrarse para cambiarlos de sitio.[/*][/list][/*][*]Para cargar una [b]imagen personalizada[/b], pulsar en el botón de imagen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon]situado en la barra superior o, directamente, arrastrar la imagen dentro del applet.[br][list][*]Una vez carguemos la imagen, podemos arrastrarla con el ratón y[/*][*]modificar su tamaño o girarla moviendo los pequeños puntos azules asociados a su parte inferior.[/*][*]Se pueden añadir tantas imágenes como necesitemos. Para borrar, basta con recargar la página.[/*][/list][/*][/list]Marcando la casilla [i]Opciones[/i] podemos elegir más posibilidades de visualización:[br][list][*]Puntos. Mostrará los puntos a partir de los cuales se han construido los rectángulos. Podemos moverlos para investigar otras proporciones en las imágenes.[/*][*]Seg. (segmentos). Cuando las distancias a medir no están en un rectángulo, como en las fichas 1 o 9, usamos los segmentos para marcar las distancias.[/*][/list]Las imágenes 12 y 13, correspondientes a las catedrales de León y de Burgos están pensadas para analizar los [b]arcos apuntados[/b] (última opción de la casilla arcos. Más abajo tenemos la descripción). Estas imágenes pueden ampliarse con el deslizador de "zoom" (se muestra al marcar las opciones) y desplazarse pinchando con el ratón, para así poder centrarnos más en el arco que vamos a analizar.[br][br]Por supuesto, es posible que alguna de las proporciones que encontremos no sea exactamente la correcta, pues no tenemos las medidas reales sino una apreciación "a ojo" a través de una fotografía. Pero no nos preocupemos. Este análisis nos servirá como un buen entrenamiento para identificar posibles proporciones y las relaciones matemáticas entre unos elementos y otros en las construcciones y en el arte.

[list][*][b]Cuadrado[/b], proporción 1:1=1; las dos longitudes son iguales.[/*][*][b]Humana [/b]o [b]Cordobesa[/b]. Es la relación entre el radio de un octógono regular y su lado. Vale aproximadamente 1,31. (Ver más abajo el contraste con la "Divina").[/*][*][math]\sqrt{2}[/math] o [b]pitagórica[/b]. Es la relación entre el lado de un cuadrado y su radio. Vale aproximadamente 1,41.[/*][*][b]3:2[/b]=1,5. Es la altura a la que llegamos si sobre un cuadrado dibujamos una semicircunferencia "arco de medio punto" de diámetro el lado del cuadrado.[/*][*][b]Divina[/b] o [b]Áurea[/b]. La más famosa de todas. Se considera que es [b]la más armoniosa[/b] de las proporciones.[list][*]En el teatro, para representar a los dioses los antiguos griegos usaban "coturnos" (plataforma con tacones) para elevar un poco su altura y que las proporción de su altura medidas desde el ombligo hasta los pies y la cabeza fuese la proporción divina, en contraposición con la proporción humana, para representar a las personas, que es la que, para ellos, se tiene sin los coturnos.[/*][*]Leonardo DaVinci la utilizó para establecer las proporciones ideales en el cuerpo humano en su famoso "hombre de Vitruvio".[/*][*]Puede obtenerse como la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado.[/*][*]Vale aproximadamente 1,62.[/*][/list][/*][*][math]\sqrt{3}[/math] o de [b]Teodoro[/b] de Cirene. Es la relación entre la altura de un hexágono regular y su lado. Vale aproximadamente 1,73.[/*][*][b]Plateada[/b]. Así como la proporción áurea (de oro) es considerada la más bonita, la de plata se considera "la siguiente" más bonita. Es la relación entre la altura de un octógono regular y su lado.[/*][/list]Además, cuando los lados de un rectángulo cumplan alguna de esas proporciones, diremos que es un [b][i]rectángulo áureo[/i][/b], [math]\sqrt{2}[/math] o [i]pitagórico[/i], [i]cordobés[/i], de [i]plata[/i], etc.[br]Aquí podemos visualizar un esquema de cómo son estas proporciones (usar la caja de arriba a la izquierda para elegir cuál visualizar):

El arco predominante en el periodo clásico era el de [b]medio punto[/b]; el arco romano de media circunferencia. En consecuencia, durante el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Arte_rom%C3%A1nico]arte románico[/url] (s XI al XIII), era el tipo de arco principalmente usado.[br][br]En la cultura árabe, este arco se continuaba, dando lugar a los [b]arcos de herradura[/b], como puede verse en el ejemplo 10 de la Mezquita de Córdoba. [br][br]Pero otro arco también ampliamente utilizado ha sido el [b]arco apuntado[/b], especialmente en el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Arte_g%C3%B3tico]arte gótico[/url] (s. XII-XVI). Estos arcos consisten en dos arcos de circunferencia que tienen sus centros en la línea de impostas (la que une los arranques de los arcos). No son el mismo centro, pero sí son simétricos respecto el centro de la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Luz_(ingenier%C3%ADa)]luz del arco[/url]. Para visualizar estos ejemplos, se ha incluido en la ficha los ejemplos 12 y 13, correspondientes a las catedrales de León y Burgos, que claramente se alejan del arte romano.[br][br]Aquí la [b]proporción[/b] importante es la que guarda el [b]radio[/b] de estos arcos de circunferencia con la [b]luz[/b] del arco. A veces puede ser algo complicado diferenciarlo visualmente si la fotografía no es suficientemente grande. Lo mejor es fijarse en la curvatura.[br]En el applet, marcando la opción "Arco apuntado", podemos mover el vértice central para modificar la longitud del radio. Cuando el radio era mayor que la luz, se denominan [b]lanceolados[/b], pues su forma recuerda a una lanza.[br][br]Las principales son:[br][list][*][b]Medio punto[/b]: el arco romano; el radio coincide con la mitad de la luz.[/*][*][b]Tercio punto[/b]: el radio es 2/3 de la luz (el centro queda a 1/3 del arranque del arco, denominado imposta).[/*][*][b]Cuarto punto[/b]: el centro queda a 1/4 del arranque de la imposta más cercana. El radio es 3/4 de la luz.[/*][*][b]Sexto punto[/b]: el centro queda a 1/6 del arranque de la imposta más cercana. El radio es 5/6 de la luz.[br][/*][*][b]Punto entero[/b]: el radio coincide con la luz. Su centro está sobre la propia imposta.[br][br][/*][*]Los arcos lanceolados son similares, pero contando desde fuera de la imposta. Por ejemplo:[br][b]Lanceolado de sexto punto[/b]: el centro queda a 1/6, por fuera de la imposta. El radio es 7/6 de la luz.[br][/*][/list]

A continuación tenemos varias fotografías donde analizamos las proporciones que se establecen entre sus elementos y también la posibilidad de analizar nuestras propias imágenes.[br][br]Por supuesto, hay bastantes más de las que indicamos. ¿Investigamos un poco para descubrirlas?[br][list=1][*]En primer lugar, [b]describiremos[/b] los [b]proporciones que se muestran[/b] en alguna de las imágenes.[/*][*]Luego, usaremos la ficha para [b]buscar al menos otras dos proporciones[/b] en alguna/s de las imágenes seleccionadas (no es necesario que sea la misma que el anterior).[/*][*]Subiremos a la ficha una [b]imagen[/b] que nos parezca interesante y con ayuda de la ficha, encontraremos al [b]menos tres proporciones[/b] que se han usado.[br]La imagen debe ser romana o de influencia romana. Hay que incluir una descripción sobre qué es o bien enlace a su descripción.[br]Más abajo tenemos algunas [b]indicaciones[/b] sobre cómo buscar las proporciones.[/*][*]Redactamos la información obtenida, incluyendo una o varias capturas de pantalla de la ficha donde se muestren la proporciones.[/*][*]Esta actividad puede realizarse individualmente o en grupos pequeños, según nos indique nuestro profesor/a.[br]Igualmente el método de entrega o de redacción, que puede ser, por ejemplo, un documento de google docs en el que insertemos las imágenes y secciones similares a las del ejemplo de más arriba.[br][/*][/list]En [url=https://docs.google.com/document/d/1ZCE24lvbhW9If9W2e9WdY0Fb6CkYyWyxSlSD_QXs9ao/edit?usp=sharing]este enlace (clic aquí)[/url] tenemos un ejemplo de resolución que puede usarse como guía.

La ficha nos lo pone bastante fácil:[br][list=1][*]Podemos empezar marcando únicamente uno de los rectángulos, para que los demás no nos distraigan.[/*][*]Elegimos una longitud que pensamos pueda estar relacionada con algún otro elemento y la ajustamos usando los puntos de control (hay que marcar la casilla [i]Opciones[/i] y luego la casilla [i]Puntos[/i]). Por ejemplo, el ancho de un arco, las proporciones de una persona... Es conveniente haber visto primero los ejemplos incluidos en la ficha.[/*][*]En el cuadro desplegable, vamos [b]probando[/b] con las [b]diferentes posibilidades[/b], a ver cuál se ajusta mejor.[/*][*]Ten en cuenta que si el autor no puso la proporción a propósito o por algunos otros motivos, puede que el ajuste no sea exacto. Pero no te preocupes; [b]también se admiten aproximaciones[/b] si son razonablemente buenas.[/*][/list]Ojo también con estos detalles:[br][list][*] la imagen [b]debe estar[/b] tomada [b]justo de frente[/b] al objeto (no vale que esté [url=https://escholarium.educarex.es/useruploads/r/c/186025/scorm_imported/29261159267312594758/acueducto_mal_inclinado.jpg]inclinado[/url], fotografiado muy desde [url=https://escholarium.educarex.es/useruploads/r/c/186025/scorm_imported/29261159267312594758/acueducto_mal_desde_abajo.jpg]abajo[/url]...) y lo que queramos contrastar debe estar a la misma distancia de nosotros.[/*][*]A veces es muy difícil de evitar, porque el objeto es muy alto. En esos casos podemos intentar alejarnos lo más posible, aunque luego haya que hacer zoom aunque, incluso así puede no ser fácil (ver ejemplos 12 y 13, de las catedrales).[br][/*][/list]

[list][*]Si no, el hecho de que cuanto más nos alejamos, más pequeñas se ven las cosas, nos inducirá a error, porque no será una proporción "verdadera".[/*][*]Por ejemplo, en la imagen 7, "Panteón de Agripa", no es posible medir las proporciones de la cúpula, pues se encuentra mucho más atrás que el frontal del edificio.[/*][*]Si marcamos la casilla "Arco" en esa ficha, hemos preparado un ejemplo "falso" con esa cúpula [i][b]¡no se debe usar![/b][/i], pues en la foto aparece bastante más pequeña de lo que es en realidad y de lo que es comparada con el frontal o la altura del pórtico, puesto que está más alejada de nosotros.[/*][/list]

[list][*]Por eso, en los arcos de triunfo tampoco podemos estudiar la proporción de lo que resulte visible del fondo del arco respecto la parte frontal.[/*][/list][list=1][*]En ocasiones no tenemos acceso al monumento entero, con lo que no tiene mucho sentido analizar ciertas proporciones.  Por ejemplo, la parte inferior del [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_de_Trajano_(M%C3%A9rida)]arco de Trajano de Mérida[/url] queda por debajo de la calle actual. Además, originalmente no era solo el arco de piedra, sino que estaba revestido, según se indica en los carteles que hay junto al arco.[list][*]Como mucho podríamos hacer una "suposición" de cómo habría sido si originalmente guardase cierta proporción. Para ello sí podríamos usar la ficha interactiva.[/*][*]Al tener la interpretación del consorcio, podríamos partir de ella y trasladarla a nuestra fotografía. En este caso, como la parte junto al pilar derecho del arco está excavada para mostrar la antigua calle romana cardo maximus (nombre de una de las principales calles romanas), si estuviésemos allí podríamos acercarnos a medir si nuestra predicción es correcta.[/*][/list][/*][/list]

En la propuesta didáctica anterior (apartado [i]Nuestro turno: buscamos proporciones[/i]), usábamos el estudio de las proporciones también para aprender sobre elementos de nuestro entorno.[br][br]Como ejemplo algo más elaborado de esta actividad, hemos modificado el applet inicial para mostrar diferentes elementos artístico-culturales en Argentina, junto con una breve introducción a cada uno de ellos. Podemos visitar el resultado [url=https://www.geogebra.org/m/utjparwj]a través de este enlace[/url].

Esta actividad forma parte del REA [url=https://programacrea.educarex.es/recursos-crea/index.php?search=modela+tu+imperio]Modela tu Imperio Romano[/url] del programa CREA Extremadura.[br]Si la utilizas en clase con tu alumnado, te agradeceríamos que te apuntases a [url=https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfi49QzX3-NL_vcCQjqNzk4eKYPD9aZrv7s8V9mpeQu8yqzqg/viewform]Experiencias CREA[/url] para incluir tu centro en nuestro [url=https://programacrea.educarex.es/modalidades-crea/experiencias]mapa de experiencias[/url] y saber qué tal os parece el recurso.

[size=85][list=1][*][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arch_of_Ber%C3%A0_on_the_Via_Augusta_3.jpg]Arco de Bará[/url]. CasperCamenisch, via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url] .[/*][*][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Acueducto_de_los_Milagros]Acueducto de los Milagros[/url], Mérida. Sara Cayetano CC BY SA.[br][/*][*][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Washington_Square_Arch_(40430304445).jpg]Arco de triunfo de Nueva York[/url]. Nan Palmero, via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by/2.0]CC BY[/url].[/*][*][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arc_de_Triomphe_at_night.JPG]Arco de triunfo de París[/url]. Martin Falbisoner, via Wikimedia Commons [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0]CC BY-SA[/url].[/*][*][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Statue-Augustus.jpg]Augusto di prima porta[/url]. [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Statue-Augustus.jpg]Museo Vaticano[/url], via Wikimedia Commons. Public domain.[/*][*][url=https://es.wikipedia.org/wiki/La_creaci%C3%B3n_de_Ad%C3%A1n]Creación de Adán[/url], Vaticano. [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Creaci%C3%B3n_de_Ad%C3%A1n.jpg]Via Wikimedia Commons[/url], Public domain.[/*][*][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Pante%C3%B3n_de_Agripa]Panteón de Agripa[/url], Roma. [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pantheon_Rom_1_cropped.jpg]Rabax63[/url], via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url].[/*][*][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Puerta_de_Alcal%C3%A1]Puerta de Alcalá[/url], Madrid. [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Puerta_de_Alcal%C3%A1,_Madrid,_Espa%C3%B1a,_2017-05-18,_DD_14.jpg]Diego Delso[/url], via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url].[/*][*]Bajorrelieve en el templo de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Templo_de_Kom_Ombo]Kom Ombo[/url]. J. Cayetano. [size=85][url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url].[/size][/*][*]Mihrab de la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Mezquita-catedral_de_C%C3%B3rdoba]Mezquita de Córdoba[/url]. [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mezquita_de_Cordoba_Mihrab.jpg]Ingo Mehling[/url], via Wikimedia Commons. [size=85][url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url][/size].[/*][*][url=https://www.alhambra-patronato.es/edificios-lugares/puerta-del-vino]Puerta del Vino[/url] de la Alhambra de Granada. [url=https://es.m.wikipedia.org/wiki/Archivo:Puerta_del_Vino-Alhambra.jpg]Alberto-g-rovi[/url], via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url].[/*][*][url=https://www.catedraldeleon.org/]Catedral de León[/url]. [url=https://es.m.wikipedia.org/wiki/Archivo:Catedral_de_Le%C3%B3n._Espa%C3%B1a-44.jpg]L. M Burgallo[/url], via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url].[/*][*][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Catedral_de_Burgos]Catedral de Burgos[/url]. [url=https://es.m.wikipedia.org/wiki/Archivo:Catedral_de_Burgos.jpg]A. Santacreu[/url], via Wikimedia Commons. [url=https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0]CC BY-SA[/url].[br][/*][/list]También, fuera del applet, se ha utilizado la imagen citada en el "Posible análisis del Arco de Trajano de Mérida", con la interpretación del Consorcio de Mérida de cómo era el Arco de Trajano.[/size]