TFM - Geometría del plano

Miguel Ángel Leranca, Mar 8, 2020

Unidad didáctica con GeoGebra. Máster de Profesorado en Matemáticas UAM Ángulos en rectas y en la circunferencia Semejanza de polígonos Criterios de semejanza de triángulos Mapas y planos Teorema de Pitágoras (clasificar triángulos según sus ángulos). Lugar geométrico y cónicas Áreas de polígonos conocidos Demostración de Pappus del Teorema de Pitágoras Innovación: Teorema de Pick

Table of Contents

  1. Ángulos en rectas y polígonos
    1. Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos
    2. Ángulos alternos y correspondientes
    3. Suma de los ángulos de un triángulo
    4. Suma de los ángulos de un polígono
  2. Ángulos en la circunferencia
    1. Medida angular
    2. Ángulos inscritos
    3. Ángulo en la semicircunferencia
  3. Semejanza
    1. Polígonos semejantes
    2. Polígonos semejantes (II)
    3. Triángulos en posición de Tales
    4. Criterios de semejanza de triángulos
    5. Mapas y planos
    6. Calculando altura pirámide de Keops
  4. Teorema de Pitágoras
    1. Teorema de Pitágoras. Perigal
    2. Teorema de Pitágoras. Demostración
    3. Teorema de Pitágoras. Aplicación
  5. Lugar geométrico
    1. Algunos lugares geométricos
    2. Secciones cónicas
    3. Cónicas como lugar geométrico
  6. Cálculo de áreas
    1. Areas básicas de figuras planas
    2. Área de un polígono regular
  7. Ampliación
    1. Teorema de Pick
    2. Demostración alternativa del Teorema de Pitágoras (Pappus)

1.

Ángulos en rectas y polígonos

  • 1. Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos
  • 2. Ángulos alternos y correspondientes
  • 3. Suma de los ángulos de un triángulo
  • 4. Suma de los ángulos de un polígono

1.1.

Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos

Expresión del valor de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice
– Miguel Ángel Leranca, Ceferino A.

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Ángulos en la circunferencia

  • 1. Medida angular
  • 2. Ángulos inscritos
  • 3. Ángulo en la semicircunferencia

2.1.

Medida angular

– Miguel Ángel Leranca

2.2.

–

2.3.

–

3.

Semejanza

  • 1. Polígonos semejantes
  • 2. Polígonos semejantes (II)
  • 3. Triángulos en posición de Tales
  • 4. Criterios de semejanza de triángulos
  • 5. Mapas y planos
  • 6. Calculando altura pirámide de Keops

3.1.

Polígonos semejantes

Dos figuras se dice que son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño. A través de algunas actividades con GeoGebra, veremos cómo podemos expresar esa condición de manera más matemática, relacionando sus lados y sus ángulos.[br][br]Observa estos dos polígonos semejantes. Los lados que ocupan el mismo lugar se denominan lados homólogos. De igual forma se definen vértices o ángulos homólogos.
Una notación muy utilizada para denotar elementos homólogos en dos polígonos es usar las mismas letras añadiendo “prima” en uno de los dos polígonos.
[b]Actividad 1.[/b] En el siguiente applet se muestran dos polígonos que son semejantes.
a) Mueve cualquiera de los vértices del polígono H, y reflexiona. ¿mantienen la misma forma ambos polígonos? [br][br]Ahora, muestra las longitudes de los lados y los ángulos de ambos polígonos, observa posibles[br]relaciones, y contesta a las preguntas restantes:[br][br]b) A través del deslizador, modifica el tamaño del polígono H’, y fíjate en los valores de los ángulos de H’. ¿Cómo son los ángulos homólogos de los polígonos?[br][br]c) ¿Qué relación encuentras entre las medidas de los lados de H y H’? Pista: calcula[br]las razones de los lados homólogos (A’B’/AB = ...).[br][br]d) ¿Qué podemos concluir acerca de los lados y ángulos de dos polígonos semejantes?
– Miguel Ángel Leranca

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

Teorema de Pitágoras

  • 1. Teorema de Pitágoras. Perigal
  • 2. Teorema de Pitágoras. Demostración
  • 3. Teorema de Pitágoras. Aplicación

4.1.

Teorema de Pitágoras. Perigal

[b]Actividad 1.[/b] En este applet, tenemos un triángulo rectángulo de color verde y tres cuadrados apoyados sobre cada uno de sus lados. Mueve el deslizador ‘d’ y observa.
a) ¿A qué otra área equivale la suma de las áreas de los cuadrados rojo y azul? ¿Podrías reescribir el resultado anterior como una expresión algebraica?[br][br]b) En base a lo visto en el apartado a), ¿Qué nos dice entonces el teorema de Pitágoras en términos de áreas?
– Miguel Ángel Leranca

4.2.

–

4.3.

–

5.

Lugar geométrico

  • 1. Algunos lugares geométricos
  • 2. Secciones cónicas
  • 3. Cónicas como lugar geométrico

5.1.

Algunos lugares geométricos

Mediatriz
Bisectriz
Arco capaz
– Miguel Ángel Leranca

5.2.

–

5.3.

–

6.

Cálculo de áreas

  • 1. Areas básicas de figuras planas
  • 2. Área de un polígono regular

6.1.

Areas básicas de figuras planas

Revisa las fórmulas de las áreas básicas. Utiliza las animaciones disponibles para comprender las más complicadas.
– Miguel Ángel Leranca, Alberto Javier Caro Rosillo

6.2.

–

7.

Ampliación

  • 1. Teorema de Pick
  • 2. Demostración alternativa del Teorema de Pitágoras (Pappus)

7.1.

Teorema de Pick

[b]Actividad 1.[/b] Observa los siguientes polígonos, cuyos vértices tienen coordenadas enteras.
[br]
Construye estos u otros similares con GeoGebra y calcula sus áreas, mediante el comando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_area.png[/icon].
Ahora, rellena la siguiente tabla, donde B = nº de puntos con coordenadas enteras en el borde (puntos azules), e I = nº de puntos con coordenadas enteras en el interior del polígono (puntos rojos). ¿Qué observas?[br][br][table][tr][td][/td][td][b]I[/b][/td][td][b]B [/b][/td][td][b]I+B/2-1[/b][/td][td][b]Área[/b][/td][/tr][tr][td]Triángulo[/td][td][br][/td][td][br][/td][td][br][/td][td][br][/td][/tr][tr][td]Cuadrilátero [/td][td][/td][td][/td][td][br][/td][td][/td][/tr][tr][td]Pentágono[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][br]¿Cuál intuyes que será la fórmula para hallar el área de cualquier polígono con vértices de coordenadas enteras? Este resultado se conoce como el [b]teorema de Pick[/b].
– Miguel Ángel Leranca

7.2.

–

Information