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Grenzwerte: Definition und wichtige Regeln
Diese Lerneinheit führt Dich durch das Thema [b]Grenzwerte von Folgen[/b]. [i]Was sind Grenzwerte und was lässt sich mit ihnen anstellen?[/i] Mit dem nachfolgenden Material hast Du die Möglichkeit, etwas über Grenzwerte und ihre Rechenregeln zu lernen und über den Tellerrand hinaus zu schauen. Viel Spaß und frohes Schaffen!
Table of Contents
- Einführung
- Definition: Grenzwert
- Definition und Beispiele: Konvergenz und Divergenz
- Wichtige Rechenregel
- Vielfache von konvergenten Folgen
- Addition und Subtraktion von konvergenten Folgen
- Multiplikation von konvergenten Folgen
- Division von konvergenten Folgen
- Aufgaben
- Schwierigkeitsgrad 1
- Schwierigkeitsgrad 2
- Quellen und Lizenzen
- Quellen und Lizenzen
Definition: Grenzwert
Einführung in Grenzwerte
Du kennst bereits ganzrationale Funktionen (linear, quadratisch, kubisch, usw.), Potenzfunktionen sowie echt gebrochen- und unecht gebrochenrationale Funktionen.[br][br]Das [b]Globalverhalten[/b] von ganzrationalen Funktionen und Potenzfunktionen ist ebenfalls bekannt.[br]Doch wie bestimmt man das Globalverhalten einer echt gebrochen- oder unecht gebrochenrationalen Funktion?[br][br][u]Zur Erinnerung[/u]:[br][br]Ist der Grad [math]b[/math] des Nenners größer als der Grad [math]a[/math] des Zählers, so heißt die Funktion [b]echt gebrochen[/b].[br][br][i]Beispiel[/i]:[br][br][b]echt gebrochene Funktion:[/b] [math]f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2+x+1}{2x^4+3x+3}[/math] [br][br][br]Ist hingegen der Grad [math]b[/math] des Nenners kleiner oder gleich dem Grad [math]a[/math] des Zählers, so heißt die Funktion unecht gebrochen.[br][br][i]Beispiel[/i]:[br][br][b]unecht gebrochene Funktion:[/b] [math]g\left(x\right)=\frac{x^3+5x^2+3x+5}{x^2+5x+12}[/math] [br][br][br]Das Globalverhalten dieser Funktionen kannst du am Ende der Lernumgebung mithilfe von Rechenregeln zu Grenzwerten von Folgen bestimmen. Hierzu muss jedoch erst der Übergang zu den Folgen geschaffen werden.
Wiederhole die Definition einer Folge und betrachte die untenstehenden Beispiele.
Nun betrachten wir den Grenzwert von Folgen, dazu bedarf es dem Begriff des Limes.
Schaue dir nun das folgende Youtube-Video von Daniel Jung zu Grenzwerten an oder überspringe diese Einheit, falls Du Dich mit den Begriffen Grenzwert und Limes von Funktionen vertraut fühlst.
Jetzt hast du wiederholt, was Folgen und Grenzwerte von Funktionen sind.[br]Das Konzept der Grenzwerte lässt sich genau so gut auf Folgen übertragen, denn wie Du bereits weißt: eine Folge ist eine Funktion (mit Definitionsbereich [math]\mathbb{N}[/math]).[br][br]Ähnlich zu dem Beispiel im Video:[br]Für die Folge [math]a_n=\frac{1}{n}[/math], [math]n\in\mathbb{N}[/math] gilt: [math]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/math].[br][br][br]Um nun das Globalverhalten der eingangs vorgestellten Funktionen [math]f[/math] und [math]g[/math] zu bestimmen, muss der Übergang zu den Folgen geschaffen werden. [br][br]Statt den Funktionen [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2+x+1}{2x^4+3x+3}[/math] und [math]g[/math] mit [math]g\left(x\right)=\frac{x^3+5x^2+3x+5}{x^2+5x+12}[/math] betrachten wir nunmehr die beiden Folgen [math]a_m[/math] mit [math]a_m=\frac{m^3+m^2+m+1}{2m^4+3m+3}[/math] und [math]a_n[/math] mit [math]a_n=\frac{n^3+5n^2+3n+5}{n^2+5n+12}[/math].[br][br]Von diesen kannst du die Grenzwerte [math]\lim_{x\to+\infty}[/math] und [math]\lim_{x\to-\infty}[/math] leicht (mithilfe von Rechenregeln) bestimmen.
Nun sind die Grundlagen geschaffen, um Grenzwerte von Folgen zu bestimmen. Bearbeite die nachfolgenden Aktivitäten. Dort wiederholst Du die Begriffe "Konvergenz" und "Divergenz" von Folgen kennen und anschließend geht es über zu den Rechenregeln von Folgen.
Vielfache von konvergenten Folgen
Aufgabe 1: Bestimme den Grenzwert der Folge für c = 1.
Betrachte die konvergente Folge [math]c\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)[/math] in dem GeoGebra-Applet oben. Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Folge für c = 1?[br][br]Um einen Tipp zu erhalten, gebe ? ein.
Die Folge [math]a_n=c\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)[/math] konvergiert gegen die Zahl ...
Aufgabe 2:
Mit einem Klick auf den Button "Grenzwert" wird eine Gerade geplottet, die den Grenzwert der dargestellten Folge angibt. Variiere den Parameter [math]c[/math]. Gegen welche Zahl konvergiert nun die Folge [math]a_n=c\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)[/math]?
Aufgabe 3: Verallgemeinerung
Welche Rechenregel gibt es für Vielfache von konvergenten Folgen? Stelle eine Vermutung über den Grenzwert von skalierten Folgen auf.
Rechenregel:
Geben sei eine konvergente Folge [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math].[br][br]Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\ge1}[/math] konvergent und es gilt [math]\lim_{n\to\infty}\left(c\cdot\text{a}_n\right)=c\cdot a[/math].
Schwierigkeitsgrad 1
Aufgabe 1:
Sei [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\frac{-6n^2+2n+1}{3n^2-5}[/math].[br]Bestimme [math]\lim_{n\to\infty}a_n[/math] ohne Hilfsmittel.[br]Gebe "?" für einen Tipp ein.
Es gilt [math]\lim_{n\to\infty}a_n=...[/math]
Sei [math]b_n=a_n+\left(5+\frac{1}{n}\right)[/math]. Was ist der Grenzwert von [math]b_n[/math] für [math]n\to\infty[/math]?
Aufgabe 2:
Sei [math]\left(c_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\frac{n-4}{2-3n}[/math].[br]Bestimme [math]\lim_{n\to\infty}c_n[/math] ohne Hilfsmittel.
Betrachte nun auch die Folge [math]\left(d_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(3+\frac{1}{n}\right)[/math].[br]Gegen welchen Wert konvergiert die Folge [math]\left(c_n\cdot d_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math]?
Aufgabe 3:
Gebe zwei Folgen [math]\left(e_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] und [math]\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] an, die nicht gegen die Zahl [math]4[/math] konvergieren, aber ihre Summe [math]\left(e_n+f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] gegen die Zahl [math]4[/math] konvergiert.
Quellen und Lizenzen
Quellen
Definition von Folgen: [url=https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/zahlenfolgen]https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/zahlenfolgen[/url][br][br]"Grenzwert, Grenzverhalten, Limes Einstieg | Mathe by Daniel Jung": Ein Erklärvideo von Daniel Jung auf YouTube; Link: [url=https://www.youtube.com/watch?v=8Snag_AgNyU]https://www.youtube.com/watch?v=8Snag_AgNyU[/url][br][br]Dieses GeoGebra Buch ist an das iMPACt+ Schülerarbeitsheft (RWTH Aachen University) angelehnt:[br]Cramer, E.; Heitzer, J.; Helmin, K.; Henn, G.; Mittler, K.; Polaczek, C.; Walcher, S.; Wittich, O. und Zimmermann, M. (2018). iMPACt+ Schülerarbeitshelft Grundlagenkurs Folgen und Reihen Komplexe Zahlen (2018), S.323-334.
Lizenzen
Dieses GeoGebra Buch ist lizensiert unter CC-BY-SA 4.0.