Mint láttuk ([url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/knnr3gvy]itt, 2. app.[/url]), az [b]A[/b] és [b]B[/b] E-pont két E-szakaszt határoz meg, így egy szakasz egyértelmű megadásához fel kellett vennünk az[b] (AB) [/b]E-egyenesen egy harmadik pontot, amellyel lényegében "kijelöljük", hogy az egyenes két szakasza közül melyik az amellyel pl. további teendőnk van.[br][br][list=1][*] Azt is láttuk (pl. [url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/wehdfvpr]itt, 2. app.)[/url], hogy az E-sík három általános helyzetű pontja három E-egyenest határoz meg. Ha nincs szükségünk arra, hogy a három egyenessel felosztott E-síkrészekkel foglalkozzunk, akkor ezt a három E-pontból és három E-egyenesből álló geometriai alakzatot nevezzük [i]E-háromszög[/i]nek - mint pl. a projektív geometria fogalomtárában. [br][br][/*][*]Most azonban ki szeretnénk alakítani az [i]E -háromszög[/i][b]lap [/b]fogalmát, egyértelművé téve, hogy mit értsünk[i] [u]egy[/u][/i] háromszöglapon, miként választja el három E-egyenes a rá nem illeszkedő E-pontokat. Legyen [b]b_0[/b] az[b] (AC) [/b]E[b]-[/b]egyenesnek az a szakasza amely tartalmazza az egyenes [b]B_0[/b] pontját, továbbá legyen [b]c_0[/b] az[b] AB[/b] egyenes [b]C_0[/b]-t tartalmazó szakasza! A [b](B,B_0)[/b] és [b](C,C_0)[/b] egyenesek metszéspontja legyen[b] D[/b]. [br][br][/*][*]Belátható, hogy erre a geometriai konstrukcióra érvényes az euklideszi geometria rendezési axiómái közül az un. [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Pasch-axi%C3%B3ma]Pash axióma,[/url] miszerint ha egy egyenes nem illeszkedik a háromszög egyik csúcsára sem és egyik oldalát metszi, akkor metsz pontosan egy másikat is. Jelen esetben pl. a [b]B,C,C_0 [/b]háromszög[b] C,C_0[/b] oldalát metszi[color=#9900ff] [b]D[/b][/color]-ben az [b](AD)[/b] egyenes, így metszi [b](BC)[/b]- t is.[br]Az [b](A,D) [/b]és[b] (B,C) [/b]egyenesek [b]A_0 [/b]metszéspontja egyértelműen kijelöli az [b]A[/b] és [b]B[/b] pontok szakaszai közül azt az [b]a_0[/b] szakaszt, amely [b]b_0[/b] -al és [b]c_0[/b]-al együtt az ABCΔ három oldala lesz. Eszerint egy E-háromszög(lap) egyértelműen megadható a [u]két[/u] félig kötött (itt: [b]B_0[/b] és [b]C_0[/b])- ponttal, vagy magával a [b]D[/b] ponttal: Az [i]ABC háromszöglap[/i] az a geometriai alakzat, amelyet nem választanak el [b]D[/b]-től az adott [b](AB), (BC)[/b] és [b](CA)[/b] E-egyenesek pontjai.[br][br][/*][*]- 8. A célunk azonban az, hogy ne csak egy háromszöget "jelöljünk meg", hanem különböztessük meg mind a négyet, amelyeket az [b]A, B, C [/b]pontokra illeszkedő egyenesek határoznak meg, és amelyek együtt lefedik az egész E-síkot. Ehhez adjuk meg a[b] b=(AC)[/b] egyenesnek azt a ([b]B_1,[/b][b]B_2[/b])[b] [/b]pontpárját amelyek az [b](A,C) [/b] pontpárral [u]elválasztó pontpárokat [/u]alkotnak. Ugyanígy legyen a [b](C_1,C_2)[/b] pontpár a [b](A,B)[/b] pontpár elválasztó pontpárja. Így a 2. és 3. lépés szerkesztéseit kell rendre négyszer megismételnünk. A 8. lépésben összegeztük a 4.-7. lépés eredményét, előállítva a négy háromszög egy-egy belső pontját. [br]Megjegyezzük, hogy mindez a dinamikus szerkesztés szempontjából érdekes, elegendő lett volna a [b]c=AB[/b] és [b]b=CA[/b] egyenesek szakaszainak a felezőpontjait használnunk az E-szakaszok egyértelmű megjelölésére. Bár... akkor nem derült volna ki, hogy a háromszöglapok kijelölésére kapott négy pont mozgatható. [/*][/list]

... a fenti applet lényegében arra volt jó, hogy a három ponttal megadott négy háromszög minden lapjára rajzoljunk egy-egy (jó nagy, szines) pontot, amellyel a háromszöglap megkülönböztethető az összes többitől. Ez a 8. lépésben válik igazán egyértelművé. Az applet kezdő állapotában az a [u]lap[/u] kapta a sárga színt, amelynek egyik oldala sem metszi a modell alapkörét. (Minden esetben pontosan egy ilyen háromszöglap van.) A másik három háromszög, amelyet - aki figyelmesen követte az eddigieket [u][b]tudja[/b], hogy csak látszólag [/u]- szétszakít a modell alapköre, úgy kapta a [color=#ff0000]piros,[/color] [color=#6aa84f]zöld[/color], [color=#0000ff] kék[/color] színt, ahogy azt a sárgával közös határvonala is rendre [color=#ff0000]piros[/color], [color=#6aa84f]zöld,[/color][color=#0000ff] kék[/color]. [br][br]Végül is ez csak játék a formákkal, de hogy komoly játék, az abból látszik, hogy ha az[b] [color=#ff0000]A[/color],[color=#6aa84f] B[/color] [/b][b][color=#0000ff]C [/color][/b]pontokat alaposan megmozgatjuk, attól ez a szín elrendezés nem változik: minden esetben az a sárga lap, amely "nem szakad a szét".[br]Ez bizony vitatható konvenció, ha egyáltalán annak nevezhető.

A "legyen adott", eddig azt jelentette, hogy "ott van" az E-modell alapkörén belül. Most numerikus adataival - azaz szögeivel - fogjuk megadni az ABCΔ-et, ahol 0°<α =CAB∢<180° , 0°<[color=#ff0000]α [/color], 0<[color=#6aa84f][b]b[/b][/color] és 0<[color=#0000ff][b]c[/b][/color] adattal és az ugyanoda helyezett [color=#ff0000]A[/color] csúccsal indul a vizsgálat. Javasoljuk olvasóinknak, hogy éljenek a változtathatóság lehetőségével.[br][br]A szerkesztés során gyakran fogjuk használni az [b]ED()[/b] saját eljárást, amelynek a bemenő adata a szerkesztendő E-szakasz kezdőpontja, a szakaszra illeszkedő egyenesnek egy tetszőleges pontja, és a keresett szakasz fokokban mért mértéke.[br][br][list=1][*]([color=#0000ff][b]√[/b][/color]Szerkesztés) [br]Legyen[b] B_0[/b] az [b]A [/b]csúcs [b]p_A[/b] poláris egyenesének a [i]k[/i] alapkörrel alkotott egyik metszéspontja. A [size=85]◀[/size][size=100] jelű [/size][b]P_c [/b]pont az [i]A,B_0[/i] E-egyenes polárisa:[b] P_c=PP(EE(A,B_0))[/b], így az [i]A,B_0,P_c Δ [/i] [i]kvadrát háromszög[/i], amelybe [i]α≤90°[/i] esetben "beleférne" a keresett [i]ABCΔ[/i]. Némi előrelátással a [b]B[/b] csúcs helyett előbb az[i] AB [/i]oldal felezőpontját szerkesztettük meg: [b] F_c=ED(A,B_0,c/2)[/b], majd [b][i]B[/i][/b]-t, amely [b] A[/b]-nak [b]F_c[/b]-re vonatkozó tükörképe: [b]B=ET(A,F_c) [/b]. [br][br]Ezután a [b]p_A=EP(A)[/b] E-egyenesre "felmérve" kaptuk a [b]C_0=ED(B_0,P_c, α)[/b] pontot, majd ebből ugyanúgy [i]F_c-[/i]t végül [i]C[/i]-t.[br][br]A felezőpontokra azért volt szükségünk, hogy ezeket felhasználva megkapjuk az[i] ABCΔ[/i] [b]S[/b] súlypontját majd ebből az [i](A,S)[/i] és [i](B,C)[/i] E-egyenesek metszéspontjaként a háromszög [i]a=BC [/i]oldalának az [b]F_a[/b] felezőpontját. (Itt kissé előre szaladtunk: a következő anyagban fogjuk megmutatni, hogy [b]S [/b]valóban az [i]ABCΔ[/i] súlypontja.)[br][br]([color=#0000ff][b]√[/b][/color]ABCΔ)[br]A háromszög csúcsainak és oldalfelezőpontjainak az ismeretében elegendő azt a GeoGebra parancsot használni amely a két végpontja és egy belső pontja ismeretében adja meg az E-háromszög egy oldalát. Pl.: a=Körív2(B,F_a,C)[br] [br]Figyeljük meg, hogy az adatok változtatása és az A pont mozgatása közben a kapott háromszögbe valóban nem metsz bele a modell alapköre.[br][br][/*][*]([b][color=#0000ff]√[/color][/b]ABCΔ) ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]T_O(ABCΔ))[br]Ha az A, B, C pontokat rendre tükrözzük az ugyancsak mozgatható [b]O[/b] pontra, megrajzolhatjuk a pontokhoz tartozó oldalegyeneseket, amelyek - mint tudjuk - négy E-háromszöglapra osztják a síkot. Kizárólag az[b] A',B', C'[/b] pontok ismeretében nehezen tudnánk eldönteni, hogy közülük melyik az [i]ABCΔ[/i] -lap centrális tükörképe. de...[br][br][/*][*]([color=#0000ff][b]√[/b][/color]Szerkesztés), ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]ABCΔ) ([b][color=#0000ff]√[/color][/b]T_O(ABCΔ))[br]... ha a csúcsokkal együtt az élek felezőpontjait is tükrözzük, akkor az azonosítás egyértelművé válik. A [b]Körív2()[/b] paranccsal, megrajzolhatók az [i]ABCΔ[/i]-el egybevágó [i]A'B'C'Δ[/i] oldalai is. ezt már olykor "ketté metszi" ?? a modell alapköre.[/*][/list]