Im oben stehenden Bild ist ein Beispiel für eine Verflechtung von drei Wirtschafts-Sektoren A, B und C gezeigt. Dazu gehört die folgende Input-Output-Tabelle:[br][br][math][br]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}[br]{}&A&B&C&y&x\\[br]\hline[br]A&25&10&90&155&280\\[br]\hline[br]B&50&70&15&120&255\\[br]\hline[br]C&75&120&35&135&365[br]\end{tabular}[br][/math][br][br]Wie man hier sieht, wird der Konsum hier einfach als [math]y[/math] bezeichnet und die Gesamtproduktion heißt [math]x[/math]. Man kann die drei Zahlen in der Konsum-Spalte also auch als Vektor [math]\vec{y}[/math] bezeichnen und die Gesamtproduktion als den Vektor [math]\vec{x}[/math].[br]Im Grunde steht dort oben ein Gleichungssystem zur Berechnung der Gesamtproduktion:[br][br][math][br]\begin{array}{rrrrr} [br]25+&10+&90+&155=&280\\[br]50+&70+&15+&120=&255\\[br]75+&120+&35+&135=&365[br]\end{array} [br][/math][br][br]Dieses Gleichungssystem lässt sich auch mit Hilfe der technologischen Matrix schreiben:[br][br][center][math][br]\text{\LARGE $\boxed{\quad\mathbf A \cdot \vec x + \vec y = \vec x\phantom{\frac 1 1}}$}[br][/math][/center]Bitte beachten Sie hier die Überschneidung der Bezeichnungen. Hier tauchen zwei völlig unterschiedliche Dinge auf, die mit einem großen A bezeichnet werden: Das eine ist der Wirtschaftssektor A und das andere ist die technologische Matrix [math]\mathbf{A}[/math], die unglücklicherweise den gleichen Namen wie der Wirtschaftssektor trägt. Diese Bezeichnungsweise ist hier aber bewusst so übernommen worden, weil sie in vielen Lehrbüchern auch so verwendet wird. [br][br]Die Gleichung [math]\mathbf A\cdot \vec x+\vec y = \vec x[/math] ist der zentrale Zusammenhang für alle Rechnungen bezüglich des Leontief-Modells. Wir werden diese Gleichung im Weiteren so umstellen, dass sich der Konsumvektor [math]\vec{y}[/math] berechnen lässt oder wir werden sie nach [math]\vec{x}[/math] umstellen, dass sich die Gesamtproduktion berechnen lässt. Wer diese Gleichung verstanden hat und dazu in der Lage ist, eine solche Gleichung mit einer Matrix umzuformen, kennt alle notwendigen Gleichungen, die in der Folge benötigt werden.

Um den Konsum [math]\vec{y}[/math] zu berechnen, muss die oben stehende Gleichung nach [math]\vec{y}[/math] umgestellt werden:[br][br][math][br]\begin{array}{rrl} [br]\mathbf A \cdot \vec x +\vec y =& \vec x &\vert -\mathbf A \cdot \vec x \\[br]\Rightarrow \vec y =& \vec x -\mathbf A \cdot \vec x &\\[br]\Rightarrow \vec y =& \mathbf E \cdot \vec x -\mathbf A \cdot \vec x &\vert \text{$\vec x$ ausklammern} \\[br]\Rightarrow \vec y =& (\mathbf E -\mathbf A )\cdot \vec x[br]\end{array} [br][br][/math][br][br]dabei ist [math]\mathbf{E}[/math] die Einheitsmatrix [math]\mathbf E= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} [/math][br][br]Wenn die technologische Matrix und die Gesamtproduktion bekannt sind, dann kann man mit dieser Gleichung den Konsum, also die Marktabgabe der Sektoren, ausrechnen:[br][br][center][math] \text{\LARGE$\boxed{\quad\vec y =(\mathbf E-\mathbf A)\cdot \vec x\phantom{\frac 11}}$}[/math][/center][br][br]Dabei ist [math](\mathbf E-\mathbf A)[/math] einfach eine Matrix, die man erhält, wenn man die technologische Matrix [math]\mathbf{A}[/math] von der Einheitsmatrix subtrahiert.

Wir haben oben die Gleichung [math]\vec y = (\mathbf E-\mathbf A)\cdot \vec x[/math] hergeleitet.[br]Mit Hilfe der Inversen Matrix von [math](\mathbf E-\mathbf A)[/math], also mit der Matrix [math](\mathbf E-\mathbf A)^{-1}[/math] lässt sich diese Gleichung nach [math]\vec x[/math] umformen:[br][br][math]\begin{array}{rcrl}[br]\vec y =& (\mathbf E-\mathbf A)&\cdot \vec x&\vert (\mathbf E-\mathbf A)^{-1}\cdot ()\\[br]\Rightarrow (\mathbf E-\mathbf A)^{-1}\cdot \vec y =& (\mathbf E-\mathbf A)^{-1}\cdot (\mathbf E-\mathbf A)& \cdot x &\\[br]\Rightarrow (\mathbf E-\mathbf A)^{-1}\cdot \vec y =&\mathbf E&\cdot \vec x&\vert \mathbf E\cdot \vec x = \vec x\\[br]\Rightarrow (\mathbf E-\mathbf A)^{-1}\cdot \vec y =&\vec x&&[br] \end{array} [/math] [br][br]Die Matrix [math](\mathbf E-\mathbf A)^{-1}[/math] wird im Leontief-Modell so oft verwendet, dass sie einen eigenen Namen bekommen hat: Sie ist die [color=#980000][b]Leontief-Inverse[/b][/color].[br][br]Mit der Gleichung[br][center][math]\text{\LARGE$\boxed{\quad\vec x = (\mathbf E-\mathbf A)^{-1}\cdot \vec y\phantom{\frac 1 1}}$}[/math][/center][br][br]lässt sich also die Gesamtproduktion [math]\vec x[/math] berechnen, wenn die technologische Matrix [math]\mathbf A[/math] und der Konsumvektor [math]\vec y[/math] gegeben sind. Auch hier ist der etwas kompliziert aussehende Ausdruck [math](\mathbf E-\mathbf A)^{-1}[/math] , also die Leontief-Inverse, nichts anderes als eine Matrix, die in der Regel mit einem CAS-System berechnet wird.

Um die Gesamtproduktion zu berechnen, reicht es also, einen Konsumvektor [math]\vec{y}[/math] und eine technologische Matrix [math]\mathbf{A}[/math] zu haben. Dabei kann es aber passieren, dass eine Koordinate des Vektors [math]\vec{x}[/math] [color=#cc0000]negativ[/color] ist. Das ist natürlich [b][i]kein[/i] sinnvolles Ergebnis[/b], es kann keine negative Gesamtproduktion geben. Man kann aber feststellen, ob in einem Leontief-verflochtenen System [b]alle[/b] Konsumwünsche erfüllt werden können oder nicht:[br][color=#980000][br][size=150]Um [i][b]jeder[/b][/i] [b]Nachfrage[/b] der Konsument:innen gerecht werden zu können, muss [i][b]jedes[/b][/i] [b]Element der Leontief-Inversen[/b] [math]\fgcolor{980000}\text{\LARGE$(\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}$}[/math] [b]größer oder gleich Null sein[/b].[/size][/color]

Auch wenn alle Elemente einer Leontief-Inverse nicht negativ sind, heißt das nicht, dass jeder Produktionsvektor [math]\vec{x}[/math] zu einem realistischen Konsumvektor [math]\vec{y}[/math] führt. Es ist durchaus möglich, dass ein Produktionsvektor dazu führt, dass es im Konsumvektor negative Koordinaten gibt. Und auch das ist sicherlich kein sinnvolles Marktmodell. [br][br]Das heißt, wenn alle Elemente einer Leontief-Inverse nicht negativ sind, dann kann man zwar zu jedem Konsumvektor einen geeigneten Produktionsvektor finden, aber es gibt nicht in jedem Fall zu jedem Produktionsvektor einen geeigneten (also in jeder Koordinate positiven) Konsumvektor.