[b][size=100][size=150][br]＜解の公式＞[/size][/size][/b][br][size=100][color=#0000ff][b]実数係数[/b][/color]の[color=#0000ff][b]２次方程式[quadratic equation][/b][/color]ax[sup]2[/sup]+bx+c=0(aは0でない）の解は[math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br]（理由）平方完成による。[br] [math]a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2=0[/math][br][math]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\left(a\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c\right)}{a}=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/math][br][math]x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br][color=#0000ff][b]実数係数[/b][/color]の２次方程式ax[sup]2[/sup]+2b'x+c=0(aは0でない）の解は[math]x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}[/math][br]（理由)　上式のbに2b'を代入すると、√の中を４でくくることができる。[br]それを√の外に２として出す。[br]すると、分子のｂ'，√、分母にそれぞれ、2があるから、約分する。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ[sup]2[/sup]+x+1=0の解は？[br][math]x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}[/math] [math]x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\omega[/math]とおくと、[br][math]\omega^2=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{1-3-2\sqrt{3}i}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\frac{ }{\omega}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]x[sup]3[/sup]=1の解は？[br]　　x[sup]3[/sup]-1=(x-1)(x[sup]2[/sup]+x+1)=0から、ｘ＝1,[math]\omega,\omega^2[/math][br][b][size=150]＜判別式と解の分類＞[/size][/b][br][/size][color=#0000ff][b]実数係数[/b][/color]の２次方程式ax[sup]2[/sup]+2b'x+c=0(aは0でない）で、[br]判別式（D＝b[sup]2[/sup]-4acまたは、D/4=b'-acは解の公式の√の中の部分にあたる。）[br]「判別式が正」⇔「２つの実数解（異なる解）」[br]「判別式が０」⇔「１つの実数解（重複解）」[br]「判別式が負」⇔「２つの虚数解（共役複素数解）」[color=#ff0000]実数の範囲では解なしで、複素数の範囲では解あり。[/color][br]　このとき、解は判別式に−１をかけて[math]x=\frac{-b\pm\sqrt{-D}i}{2a}[/math]とかける。[br][color=#0000ff]（例）[/color]解の分類をしよう。ｘ[sup]2[/sup]+3x+2=0、ｘ[sup]2[/sup]+2x+1=0、ｘ[sup]2[/sup]+x+2=0[br] 　　D=9−4･2=1>0で２実数。D/4=1−1=0で重解。D=1−4･2<0で２虚数解[br][color=#0000ff]判別式は実数係数の２次方程式[/color]にしか使えない。係数が複素数のときは、実部と虚部にわける。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「２次方程式(1+i)x[sup]2[/sup]+(a-i)x+2(1-ai)=0が実数解をもつ実数定数a」は？[br]　iについて整理する。(x[sup]2[/sup]+ax+2)+(x[sup]2[/sup]-x-2a)i=0となり、実数ｘについてx[sup]2[/sup]+ax+2=x[sup]2[/sup]-x-2a=0[br] (a+1)x+2(1+a)=0 だから、(a+1)(x+2)=0　a+1=0 またはx=-2。[br]　a+1=0なら、x[sup]2[/sup]-x+2=0 x=(1±√1-8)/2 は虚数となり実数解ではないからダメ。[br]　x=-2のときｘは実数解。x[sup]2[/sup]+ax+2=4-2a+2=6-2a=0から、a=3となる。[br][b][size=150]＜複素数解と因数分解＞[br][/size][/b]数の範囲を実数から複素数にひろげると、[color=#0000ff][b]多項式の因数分解が１次式の積に分解しきる[/b][/color]ことができる。[br]たとえば、ｘ[sup]4[/sup]ー１＝(x[sup]2[/sup]-1)(x[sup]2[/sup]+1)=(x+1)(x-1)(x[sup]2[/sup]+1)の先にいける。[br] x[sup]2[/sup]+1=x[sup]2[/sup]-(-1)=x[sup]2[/sup]-i[sup]2[/sup]=(x+i)(x-1)と分解できるので、ｘ[sup]4[/sup]ー１=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)と因数分解できる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「m[sup]2[/sup]+n[sup]2[/sup]を複素数の範囲で因数分解」すると？[br]　　　+n[sup]2[/sup]=-(-1)n[sup]2[/sup]=-(n i)[sup]2[/sup]と置き換えると、 [math]m^2-\left(ni\right)^2=\left(m+ni\right)\left(m-ni\right)[/math]　と分解できる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「(m[sup]2[/sup]+n[sup]2[/sup])(p[sup]2[/sup]+q[sup]2[/sup])=(mp-nq)[sup]2[/sup]+(mq+np)[sup]2[/sup]が成り立つ」理由は？[br]　　左辺を因数分解してから、かけ算のペアを変えてみよう。[br]　　　[math]\left(m+ni\right)\left(m-ni\right)\left(p+qi\right)\left(p-qi\right)=\left(m+ni\right)\left(p+qi\right)\left(m-ni\right)\left(p-qi\right)[/math][br] =[math]\left(mp-nq+\left(mq+np\right)i\right)\left(mp-nq-\left(mq+np\right)i\right)=\left(mp-nq\right)^2-\left(\left(mq+np\right)i\right)^2[/math][br] =(mp-nq)[sup]2[/sup]+(mq+np)[sup]2[/sup]

[size=150][b]＜解と係数の関係＞[br][/b][size=100]２次方程式ax[sup]2[/sup]+bx+c=0(aは0でない）の解をα、βとすると、[br][/size]a(x-α)(x−β)=ax2-a(α+β)x+aαβ＝0と係数を比較して、[math]\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\alpha\beta=\frac{c}{a}[/math]となる。[br][color=#0000ff]ただし、２つの解α、βは異なるとは限らない。[br]ただし、２つの解α、βは実数とは限らない。[br]つまり、解がどんなときでも使える。[br]（例）[/color]x²+x+1=0のとき、α＋β=-1、αβ=1。[br][math]\alpha^2+\beta^2=\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta=1-2=-1[/math][math]\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{-1}{\alpha\beta}=-1[/math][math]\alpha^3+\beta^3=\left(\alpha+\beta\right)^3-3\alpha\beta\left(\alpha+\beta\right)=-1-3\cdot1\cdot\left(-1\right)=2[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]1+2i,1-2iを解とする２次方程式で２次の係数が１のものは？[br] 1次の係数は解の和２にマイナスをつけて-2、定数項は1[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup]=5。[br]　[math]x^2-2x+5=0[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}[/math]とするとき、次の値は？[br] [math]\omega^2=\omega[/math]の共役複素数で、x²+x+1=０の解だから、[math]\omega^2+\omega=-1[/math]。　[br] [math]\omega^3=\omega^3-1+1=\left(\omega-1\right)\left(\omega^2+\omega+1\right)+1=0+1=1[/math]。[/size][br][b][size=150]＜解の正負と係数の関係＞[/size][/b][br]２実数解をもつとき、判別式が非負。[br]２解とも正は、解の和、積がともに正。[br]２解とも負は、解の和が負で、積は正。[br]正と負の２解なら、積が負。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ²＋bx+1=０が２実数解をもち、２解とも正は、[br]D＝b²-4>=0で、α＋β=-b＞0から。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ²＋bx+1=０が２実数解をもち、２解とも負は、[br]D＝b²-4>=0で、α＋β=-b＜0から。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ²＋x+ｃ=０が２実数解をもち、正と負を１つずつもつは、[br]αβ=ｃ<0。（ｃ＜０ならD＝１−４c＞０）[br][color=#0000ff]（例）[/color]２つの放物線ｙ＝ｘ²とｙ=-(x-p)²+p+2の２交点のｘ座標α、βについて、[br]E=(α−β)²の値の範囲は？[br]　２交点があるなら、x²＋(x-p)²-(p+2)=2x²-2px+p²-p-2=0の[br] D/4=p²-2p²+2p+4=-p²+2p+4=-(p-1)²＋5=f(p)とする。[br]ｙ＝f(p)の頂点は(1,5)であり正だから、ｙは５以下で正。[br]解と係数の関係から、α+β=p、2αβ=p²-p-2だから、[br]E=(α+β)²-4αβ=p²-2(p²-p-2)=-p²+2p+4=D/4。[br]したがって、Eも[u]５以下で正[/u]。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「a>0なら、２次方程式f(x)=x[sup]2[/sup]+ax-1=0, g(x)=x[sup]2[/sup]-x-a=0がともに２実数解をもち、[br]f=0の解の１つだけがg=0の解の間にある」理由は？[br]a>0なら判別式Df=a2+4、Dg=1+4aともに正だから、ともに２実数解をもつ。[br]g=0の２解をα,βとすると、α[sup]2[/sup]=α-a,β[sup]2[/sup]=β-a、α＋β=1,αβ=-aの４式によって、αとβの式の次元下げとaの式化ができる。この２解を他の関数fに代入すると、f(α)とf(β)が異符号になれば、この解の間でf=0がｘ軸と交わる。f(α)f(β)=(α[sup]2[/sup]+aα-1)(β[sup]2[/sup]+aβ-1)=.......=-a(a[sup]2[/sup]+3)はaが正なら、負になるから交わる。[br][br][b][size=150]＜極形式と２次方程式＞[br][/size][/b]解と係数の関係は、虚数の場合も成り立つので虚数解から２次方程式を作ることもできる。[br]２つの虚数解は共役だから、※極形式でα＝ｒcosθ＋ｒsinθ iとすると、β＝ｒcosθ -ｒsinθ i。[br]α+β=2rcosθ、αβ＝r²[br]だから、２次方程式はｘ²-2rcosθｘ＋r²＝０となる。[br]特に、θ＝０のときは、cosθ＝１だから、[br]２次方程式はx²-2rx+ｒ²＝(x−r)²=０[br]特に、θ＝πのときは、cosθ＝−１だから、[br]２次方程式はx²＋2rx+ｒ²＝(x＋r)²=０[br]特に、θ＝π/2のときは、cosθ＝0だから、[br]２次方程式はx²+ｒ²=０[br]2次関数にすると、グラフのｙ切片は必ずｒ²になる。[br]＜※極形式＞[br]複素数は実部とｘ軸、虚部をｙ軸とすると、座標平面における。[br]座標平面にある点Z（ｘ，ｙ）はベクトルのように、原点Oと結ぶことができまる。[br]Zの位置は、OZの大きさをｒ、[br]OZとx軸の正の方向から反時計回りに測った角θで決まる。[br][color=#0000ff]ｚ＝ｒ(cosθ+sinθ i)[/color]とかける。[br]（理由）[br]OZをｒで割った長さORは１なので、Rは単位円周上にある。[br]だから、Rは(cosθ,sinθ）とかける。[br]ということは、OZはそれをｒ倍しているだけだから、（ｒcosθ, r sinθ)という座標になる。