[size=85][right][size=85][size=50](08.02.2019) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks[color=#980000][b] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/b][/color][/size][/size][br][/right][br]Der Titel dieser Aktivität ist eher ein Joke als mathematisch korrekt: Verwendet man den Begriff "Strophoide" allgemein für sich "wendende" Kurven oder für "Schleifenkurven", so ist die Aussage so allgemein formuliert falsch.[br]Für die "[color=#980000][i][b]gerade Strophoide[/b][/i][/color]" im engeren Sinne trifft sie jedoch zu: diese Kurve entsteht durch [color=#20124D][i][b]Inversion[/b][/i][/color] an einem geeigneten Kreis aus einer [color=#ff7700][i][b]gleichseitigen Hyperbel[/b][/i][/color], also einer Hyperbel mit orthogonalen Asymptoten.[br][br]Wir wollen mit dieser und der nachfolgenden Aktivität andeuten, dass manche der bekannten speziellen Kurven [color=#20124D][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] tatsächlich " ... auch nur Kegelschnitte sind". Die [color=#20124D][i][b]gleichsinnigen Möbiustransformationen[/b][/i][/color] [math]z\mapsto\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene mit [math]a,b,c,d\in\mathbb{C}[/math], zusammen mit den [color=#20124D][i][b]Inversionen[/b][/i][/color] am Kreis sind kreis- und winkeltreu. [br]Die nächst-höhere Klasse von Kurven, die unter [color=#20124D][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] invariant ist, besteht aus den bizirkularen Quartiken, das sind algebraische Kurven des Typs:[br][/size][list][*][size=85][math]\alpha_1\cdot\left(z\bar{z}\right)^2+\left(\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot y\right)\cdot z\bar{z}+\alpha_4\cdot x^2+\alpha_5\cdot xy+\alpha_6\cdot y^2+\alpha_7\cdot x+\alpha_8\cdot y+\alpha_9=0[/math], [math]\alpha_i\in\mathbb{R},i=1,...,9[/math][/size][/*][/list][size=85]Die Kegelschnitte gehören also erkennbar zu dieser Kurvenklasse, tatsächlich entstehen aus Kegelschnitten unter Kreisinversionen solche Quartiken 4. Ordnung. [br]Das Applet oben ist vielleicht etwas überfrachtet: wir wollen die [color=#20124D][i][b]möbius-geometrisch[/b][/i][/color] gemeinsamen Eigenschaften von Kegelschnitten, ihren Bildern unter Möbiustransformationen und anderen bizirkularen Quartiken hervorheben.[br][br][i][b][color=#20124D]Möbiusgeometrisch[/color][/b][/i] besitzen die Kegelschnitte neben [color=#00ff00][i][b]dem Brennpunkt[/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color]), bzw. den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]Ellipse/Hyperbel[/b][/i][/color])[br]den Punkt [math]\infty[/math] als 3-fach, bzw. 2-fach zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br]Die Kreise oder Geraden durch je zwei [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] nennen wir "[color=#ff0000][i][b]Brennlinien[/b][/i][/color]". Für Ellipsen/Hyerbeln sind das z.B. die Geraden durch [color=#00ff00][b]F[sub]1[/sub][/b][/color] und die durch [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color]. Durch fast jeden Punkt der Ebene geht je eine dieser [color=#ff0000][i][b]Brennlinien[/b][/i][/color]. Die [i][b]konfokalen Kegelschnitte[/b][/i] sind [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] dieser Brennlinien! [br]Dasselbe stellt man fest, wenn man die Kreise durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]F[sub]1[/sub][/b][/color][/size] und [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color][/size] einerseits und die Parallelen zur Hauptachse andererseits als [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Brennlinien[/b][/i][/color][/size] betrachtet. [br]"Konstruieren" kann man die Kurven mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] oder [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color], den [color=#ff0000][i][b]Brennlinien[/b][/i][/color] und den [i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i]. Bei den Kegelschnitten sind das die [i][b]Tangenten[/b][/i] (2. Berührpunkt ist [math]\infty[/math]) oder die zur Nebenachse symmetrischen, den Kegelschnitt berührenden Kreise. Spiegelt man einen ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] an den [i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i], so liegen die Spiegelpunkte jeweils auf einem Kreis oder einer Geraden: das sind die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color]! [br]Dieser Zusammenhang gilt möbiusgeometrisch für alle bizirkulare Quartiken.[br][list][*]Im Applet oben kann man diese Zusammenhänge für [i][b]Kegelschnitte[/b][/i] und deren [color=#980000][i][b]Bilder [/b][/i][/color]unter [color=#20124D][i][b]Inversion[/b][/i][/color] am angezeigten [color=#1e84cc][i][b]Kreis[/b][/i][/color] erkunden.[/*][br][*]Das Applet unten zeigt das Bild einer [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] unter der [color=#20124D][i][b]Inversion[/b][/i][/color] an einem beweglichen [color=#1e84cc][i][b]Kreis[/b][/i][/color] und die Wirkung auf [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] und[color=#0000ff][i][b] Leitgerade[/b][/i][/color].[/*][/list][/size]