[b][color=#3c78d8]Schritt 1: Festhalten der Bedingungen [br][/color][/b][br]Gegeben ist ein Dreieck [math]ABC[/math]. Gesucht ist das Quadrat [math]PQRS[/math], das folgende Bedingungen erfüllt:[br][br][list=1][*][math]P\in c[/math][/*][*][math]S\in b[/math][/*][*][math]R\in a[/math][/*][/list]

[b][br][color=#3c78d8]Schritt 2: Bedingung fallen lassen[/color][/b][br][br]Wir lassen die 3. Bedingung fallen und konstruieren Quadrat, dass die ersten zwei Bedingungen erfüllt:[br][br][math]P\in c[/math] beliebig, [math]d\bot c[/math] durch [math]P[/math], [math]\left\{S\right\}=d\cap b[/math], [math]k(P,r)[/math] ([math]r=\overline{SP}[/math]), [math]\left\{Q\right\}=k\cap c[/math], [math]e\bot c[/math] durch [math]Q[/math], [math]f\parallel c[/math] durch [math]S[/math],  [math]R=e\cap f[/math][br][br][br][b][color=#3c78d8]Schritt 3: Variation von P[/color][/b][br][br]Bewege [math]P[/math] auf [math]c[/math]. Die Ortslinie [math]l_R[/math] von [math]R[/math] ist ebenfalls eine Gerade, wie sich empirisch feststellen lässt.[br]

[b][color=#3c78d8]Schritt 4: Mathematische Begründung[/color][br][/b][br]Begründen kann man diesen Sachverhalt über Verhältnisse (“Steigungsdreieck”!):[br][br][math]\frac{\overline{AQ}}{\overline{QR}}=\frac{\overline{AP}+\overline{PQ}}{\overline{QR}}=\frac{\overline{AP}+\overline{QR}}{\overline{QR}}=1+\frac{\overline{AP}}{\overline{QR}}=1+\frac{\overline{AP}}{\overline{PS}}[/math][br]Interpretation (etwas volkstümlich formuliert): [br]Die “Steigung” der Ortslinie bleibt also konstant, weil jene der Seite [math]\overline{AC}[/math] auch konstant bleibt. [br]

[color=#3c78d8][b]Schritt 5: Konstruktion[/b][br][/color][br]Schnittpunkt von der Ortslinie [math]l_R[/math] mit [math]A[/math] liefert das gesuchte [math]R[/math]. Von dort aus lässt sich das entsprechende Quadrat konstruieren.[br][br][math]\left\{R\right\}=l_R\cap a[/math] , [math]g\bot c[/math] durch [math]R[/math], [math]\{Q\}=g\cap c[/math], [math]k\left(Q,r\right)[/math] ([math]r=\overline{SQ}[/math]), [math]\{P\}=k\cap c[/math], [math]h\bot c[/math] durch [math]P[/math], [math]\{S\}=h\cap b[/math].[br][br]Wie in Aufgabe 6.2 lässt sich die Ortslinie konstruieren, indem zwei beliebige Quadrate wie oben beschrieben konstruiert werden. Die dadurch konstruierten Punkte [math]R_1[/math] und [math]R_2[/math] spannen die Ortslinie auf.