Untersuchung der Funktion a^x und der Zugehörigen Ableitung

Das Applet zeigt die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x)=a^x und die zugehörige Ableitung. Beschreiben Sie das Verhalten der Ableitung f' in Abhängigkeit von a.

Frage 1:

Beschreiben Sie die das Verhalten der Ableitung f' in Abhängigkeit von a.

Frage 2:

Wir betrachten die Ableitung von [math]f(x)=a^x[/math] an der Stelle [math]x_0=0[/math].[br]Es gilt:[br][math]f'\left(0\right)=\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^{0+h}-a^0}{h}=[/math][br]Wähle die richtige Umformung aus und trage sie ins Arbeitsblatt ein.

[math]\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{1}{h}[/math] [math]\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}[/math] [math]\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{h-1}{a^h}[/math] [math]\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{1-a^h}{h}[/math]

Frage 3:

Jetzt betrachten wir die Ableitung von f:[br][math]f'\left(x\right)=\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^x\left(a^h-1\right)}{h}=[/math][br]Wähle die richtige Umformung aus und trage sie ins Arbeitsblatt ein.

[math]=\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^{^h}-1}{h}=f'\left(0\right)=f'\left(0\right)[/math] [math]=a^x\cdot\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=a^x=f\left(x\right)[/math] [math]a^x\cdot h=a^x\cdot0=0[/math] [math]=a^x\cdot\binom{lim}{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot f'\left(0\right)=f'\left(0\right)\cdot f\left(x\right)[/math]

Jetzt betrachten wir die Tangente an den Graphen f mit f(x)=a^x und ihre Steigung. Für welchen Wert a besitzt die Tangente die Steigung 1. Beschreiben Sie ihre Beobachtung.

Frage 4:

Für welchen Wert a gilt f'(0)=1 und damit f'(x)=f(x)?

2,8 3 2 2,73 2,75 2,71 2,7 2,72 2,74 1,5