a) Welche Funktionen sind identisch zu...[br]1. [math]f\left(x\right)=-x^2-2x+15[/math][br]2. [math]g\left(x\right)=3x^2-4x-4[/math][br][br]Wähle die passenden Funktionen aus und begründe deine Antwort auf dem Arbeitsblatt![br]
[i]Hilfestellung: Im GeoGebra Applet wird die Funktion f(x) angezeigt. Mit den Schiebereglern kannst du die Parameter der Produktform [math]f_2\left(x\right)[/math]= a(x-b)(x-c) bestimmen. Damit kannst du mit den Schiebereglern einen passenden Funktionsterm zu f(x) finden.[/i]
[i]Hilfestellung: Im GeoGebra Applet wird die Funktion g(x) angezeigt. Mit den Schiebereglern kannst du die Parameter der Produktform [math]g_2\left(x\right)[/math]= a(x-b)(x-c) bestimmen. Damit kannst du mit den Schiebereglern einen passenden Funktionsterm zu f(x) finden.[/i]
b) [br]Was muss man machen, um die Hauptform in die Produktform umzuwandeln?
Um den Funktionsterm von der Hauptform in die Produktform umzuwandeln, benötigt man die Nullstellen. Diese lassen sich mit Hilfe der pq- oder abc-Formel ermitteln.[br]Dann wandelt man die Hauptform in die Produktform nach obigem Schema um.[br][br]Jedoch gibt es einige Fälle, die ein direktes Umschreiben möglich machen.[br]1. Man kann x ausklammern:[br]Bei einem Funktionsterm fehlt das Absolutglied: z.B. [math]f\left(x\right)=x^2-2x=x\left(x-2\right)[/math]. Eine Nullstelle ist in diesem Fall [math]x_1=0[/math]. Die andere Nullstelle wird aus dem Klammerglied ermittelt d.h. x-2=0 und demnach ist [math]x_2=2[/math].[br]2. Man kann die dritte binomische Formel anwenden, d.h. die Hauptform lässt sich komplett in die dritte binomische Formel umschreiben. z.B.: [math]f\left(x\right)=x^2-5=\left(x-5^{\frac{1}{2}}\right)\left(x+5^{\frac{1}{2}}\right)[/math], damit sind die Nullstellen [math]x_{1,2}=+_-\sqrt{5}[/math].[br]3. Auch mit den ersten beiden binomischen Formeln kann man die Produktform erhalten, z.B.: [math]f\left(x\right)=x^2-4x+4=\left(x-2\right)^2[/math]. Dann ist sofort rauszulesen, dass [math]x_{1,2}=2[/math] eine doppelte Nullstelle von f(x) ist.
d) [br]Wie könnte eine Umformung von Produktform in Scheitelform aussehen? Überlege dir, wie der Scheitelpunkt aus den Nullstellen abgeleitet werden kann und damit gleichzeitig die Scheitelform der Funktion f(x) bestimmt werden kann.
[i]Hilfestellung: Im GeoGebra Applet wird die Funktion f(x) und g(x) angezeigt. Mit den Schiebereglern kannst du die Parameter der Produktform [math]h\left(x\right)[/math]= a(x-b)(x-c) bestimmen. Damit kannst du mit den Schiebereglern einen passenden Funktionsterm zu f(x) und g(x) finden.[/i]
c) [br]Schreibe den Funktionsterm in Produktform und lese die Nullstellen ab.[br]1. [math]f\left(x\right)=x^2-5x[/math][br]2. [math]g\left(x\right)=2x^2-4x+2[/math][br][br][i]Du kannst das GeoGebra Applet zur Hilfe nehmen, um dir die Funktionen anzeigen zu lassen![/i]