[justify]A construção dos números naturais é dada pelos axiomas de Peano. Mas o que é um axioma? Lembre-se dos conceitos ditos primitivos, citado anteriormente, esses são os axiomas, podemos pensar como verdades observáveis, ou mesmo aceitas para dar sustentação à demonstrações, assim, estes não precisam ser demonstrados, e podem ser usados para provar algo a partir de tais verdades, como ocorre com os números naturais.[br][br]Os axiomas mencionados são:[br][/justify][list][*][justify]Todo número natural tem um único sucessor, logo, números diferentes tem sucessores diferentes;[/justify][/*][*][justify]Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro, chamado um, representado pelo símbolo 1, logo, esse é o menor número natural;[/justify][/*][*][justify]Se [math]S[/math] é um subconjunto dos números naturais, onde [math]1\in S[/math] e para todo [math]a\in S[/math], temos que [math]\left(a+1\right)\in S[/math], então, [math]S=\mathbb{N}[/math].[/justify][/*][/list][br]Observação: os axiomas de Peano podem ser encontrados de maneiras distintas em materiais distintos, mas lembramos que o ponto principal é entender a ideia por trás dos axiomas, em alguns inclusive, será encontrado o zero como menor elemento do conjunto dos naturais.[br][br]Note que a partir dos axiomas acima, se [math]a=1[/math], temos o conjunto dos naturais como:[br][br][math]\mathbb{N}=\left\{a,\left(a+1\right),\left(a+1\right)+1,...,\right\}=\left\{1,2,3,...\right\}[/math][br][br]Um outro fator importante é que novamente chamamos atenção para as demonstrações matemáticas, já que os axiomas de Peano nos fornecem a ideia para demonstrações por Indução Matemática através do último axioma, ao mostrar que se determinada propriedade é satisfeita para um determinado elemento e se a verdade de [math]a[/math] implica a verdade de [math]\left(a+1\right)[/math], então, esta será verdadeira para todo [math]a[/math] do conjunto em questão. Os números naturais são fechados para adição e multiplicação, ou seja, tais operações entre números resultará em um número natural.[justify][/justify]