L'hexagone régulier ABCDEF, inscrit dans le cercle circonscrit de centre O et de rayon [i]r,[/i] est composé de 6 triangles équilatéraux de côtés [i]r[/i], d'aire [i]s[/i].[br]L'aire de l'hexagone est S = 6[i]s[/i].[br][br]En prolongeant les côtés de l'hexagone, on trouve six points d'intersection A', B', C'... On obtient six pointes, triangles équilatéraux de cotés [i]r[/i].[br]L'étoile de David AA'BB'CC'DD'EE'FF' est formée de l'hexagone et des 6 pointes. Son aire, réunion de 12 triangles équilatéraux, est 12 [i]s[/i] = 2S, soit le double de l'aire de l'hexagone.[br][br]L'hexagramme A'B'C'D'E'F' est un hexagone régulier obtenu en complétant l'étoile par six triangles isocèles de petits côtés [i]r[/i] et d'angle 120°. [br]Par exemple, les triangles A'BB' et BCB' ont même base [i]r[/i] et même hauteur, celle du triangle équilatéral, ils ont donc même aire [i]s[/i].[br]La somme des aires des triangles isocèles est 6[i]s[/i] = S. A'B'C'D'E'F a pour aire 2S + S = 3S.[br]Le rapport d'agrandissement des hexagones est donc [math]\sqrt{3}[/math].

Descartes et les Mathématiques - [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/polygone-regulier.mobile.html#ch6]Polygone régulier[br][/url]