Im Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/ussujf33]der Irrgarten[/url]" konnte in der zweiten Geogebra-App ein Roboter durch ein Labyrint geführt werden. Eine mögliche Lösung für den Weg durchs Labyrint ist hier:

[b]Grafisch[/b] bedeutet die [b]Addition von Vektoren[/b] das Bilden einer [color=#980000][b]Vektorkette[/b][/color]. Das heißt man fügt die Vektoren so zusammen, dass der Anfangspunkt eines Folgevektors mit dem Endpunkt des vorangehenden Vektors verbunden wird.[br][b]Mathematisch[/b] bedeutet [b]Addition von Vektoren[/b] einfach, dass alle [math]x[/math]-Koordinaten zu einer neuen [math]x[/math]-Koordinate addiert werden, [math]y[/math]-Koordinaten zu einer neuen [math]y[/math]-Koordinate addiert werden und alle [math]z[/math]-Koordinaten zu einer neuen [math]z[/math]-Koordinate addiert werden. [br][br]In der folgenden App kann mit so einer Vektorkette ein wenig "herumgespielt" werden.

[b]Grafisch[/b] bedeutet das Subtrahieren eines Vektors [math]\vec{b}[/math] von einem Vektor [math]\vec{a}[/math] einfach die [color=#980000][b]Addition mit dem Gegenvektor[/b][/color].[br][b]Mathematisch[/b] bedeutet Subtrahieren einfach, das die Koordinaten des zu subtrahierenden Vektors von denen des Ausgangsvektors abgezogen werden: [br][math]\vec a - \vec b = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z\end{pmatrix}[/math][br]Auch dies kann in der unten stehenden App ausprobiert werden.

Hier zuerst eine [color=#ff0000]Warnung:[/color] Verwechseln Sie diese Multiplikation nicht mit dem [i]Skalarprodukt[/i], das in späteren Kapiteln behandelt wird.[br][br][b]Mathematisch[/b] ist die [b]S-Multiplikation[/b] einfach die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.[b] Dabei wird, wie bei der S-Multiplikation einer Matrix, [i]jede[/i] Koordinate mit dieser Zahl multipliziert[/b]:[br][math]5\cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\cdot 3\\ 5\cdot (-2)\\ 5\cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\-10\\20 \end{pmatrix}[/math][br][br][b]Grafisch[/b] bedeutet die [b]S-Multiplikation,[/b] dass ein Vektor, der mit einer Zahl [math]z[/math] multipliziert wird, um das [math]z[/math]-fache [color=#980000][b]verlängert[/b][/color] oder [color=#980000][b]verkürzt[/b][/color] wird. Seine Richtung behält er aber bei. Dabei kann man sich für das Produkt [math]z\cdot\vec{v}[/math] folgendes überlegen:[br][list][*] Ist [math]z[/math] größer als [math]1[/math], dann wird der Vektor [b]verlängert[/b].[/*][*] Ist [math]z[/math] größer als [math]0[/math] und kleiner als [math]1[/math] dann wird der Vektor [b]verkürzt[/b].[/*][*]Ist die Zahl [math]z[/math] [i]negativ[/i], dann zeigt der Ergebnisvektor in die [b]entgegengesetzte Richtung[/b]. Der Gegenvektor zu [math]\vec{v}[/math] ist der Vektor [math](-1)\cdot \vec v[/math].[br][/*][/list]

Sehr oft braucht man einen Vektor, der einen Punkt mit einem anderen verbindet, in diesem Beispiel ein Vektor von Punkt [math]\mathbf{A}[/math] zu [math]\mathbf{B}[/math]. Diesen Vektor lässt sich mit Hilfe der Ortsvektoren dieser beiden Punkte berechnen: [math]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/math][br]Im nächsten Applet kann man das in zwei Dimensionen beobachten und ausprobieren, indem man die Punkte A und B verschiebt: