Pour une meilleur approximation de l'aire qu'on cherche on pourra poursuit comme suit: [br]diviser l’intervalle [math]\left[1,2\right][/math] en n = 2 morceaux, puis de construire les rectangles associés[br]comme cela :

l’aire Somme 2 est plus grande que l’aire sous la courbe car tous les rectangles[br]correspondants sont au-dessus de la courbe.[br]De même, l’aire Somme 2 est plus petite que l’aire sous la courbe car tous les rectangles verts[br]correspondants sont en-dessous de la courbe.[br]En réalité Somme 1 et Somme 2 permettent d’avoir un encadrement de la véritable aire sous la courbe :

On peut améliorer cette première approximation par : diviser l’intervalle [math]\left[1,2\right][/math] en n =4 morceaux

Pour une bonne aproximation on peut tout simplement augmenter le nombre de rectangles

Cette méthode des rectangles consiste en fait à partager un intervalle [math]\left[a,b\right][/math] en n morceaux et à construire[br]n rectangles comme on a vu précédemment. Enfin, on réalisait la somme des aires de ces rectangles.[br] L'aire[math]=\sum_{k=1}^nf\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\times\frac{b-a}{n}=\sum_{k=1_{_{_{ }}}}^nf\left(x_i\right)\Delta x[/math]

Pour que l'aire tende vers la valeur exacte de l’aire sous la courbe, il faut que n tende vers l’infini. on note [br][math]\frac{b-a}{n}\rightarrow0[/math] qand [math]n\rightarrow+\infty[/math] [math]\Longleftrightarrow\Delta x\rightarrow0[/math] quand [math]n\rightarrow+\infty[/math][br][br]Alors la somme qui était jusqu’à présent discrète devient continue. Dès lors les notations changent et on écrit [math]\int_{_a}^bf\left(x\right)dx=[/math] AIRE de la courbe délimité par [math]x=a[/math] et [math]x=b[/math]

Il s’agit de la même somme que précédemment, la seule chose qui change c’est que cette dernière[br]est continue. [br]