Aplicações para o estudo de funções quadráticas
Table of Contents
- Forma geral e coeficientes
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Gráfico e concavidade
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Raízes
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Vértice
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Imagem
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Problema: Fonte Luminosa, Praça da Sé
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Referências
- Aplicações para o estudo de funções quadráticas
- Outras aplicações
- Matemáticas decoloniais
Aplicações para o estudo de funções quadráticas
Definição:
Uma função [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], dada por [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math], com [math]a,\ b\ e\ c[/math] números reais e [math]a\ne0[/math] é o que chamamos de função quadrática.
Coeficientes
[math]a,\ b\ e\ c[/math] são chamados coeficientes da função quadrática.[br]Por exemplo, fazendo [math]a=1,\ b=0\ e\ c=-4[/math] em [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] obtemos a função quadrática [math]f\left(x\right)=x^2-4[/math].
Exercício 1:
Para a função [math]f\left(x\right)=x^2-4[/math], complete a tabela abaixo tomando [math]y=f\left(x\right)[/math].
Exercício 2:
Use o GeoGebra para calcular os valores de [math]y[/math]. Por exemplo, para [math]x=-1[/math], digite[b] (-1)^2 - 4 [/b]na célula da tabela e clique [b]Enter[/b]. O valor [math]y=-3[/math] será exibido.[br]Agora, complete a tabela abaixo usando o GeoGebra para calcular os valores em cada caso.
Exercício 3:
Use o GeoGebra para representar pontos no plano cartesiano. Por exemplo, para o ponto (3, 5), digite [b](3,5)[/b] em [b]Entrada[/b] e clique [b]Enter[/b]. O ponto de coordenadas [math]x=3[/math] e [math]y=5[/math] será exibido.[br]Represente no plano cartesiano os pontos obtidos nas duas tabelas do Exercícios 1 e 2 usando o GeoGebra.
Exercício 4:
a) Usando o GeoGebra esboce o gráfico da função quadrática f(x) = x² - 4. Para isso digite[b] x^2 - 4[/b] em [b]Entrada[/b] no plano cartesiano que você acabou de representar os pontos do Exercício 3.[br][br]b) Observe se os pontos obtidos anteriormente pertencem ao gráfico de f(x). Caso algum esteja fora do gráfico, então houve algum erro. E, em caso de erro, apague o ponto que está errado e represente-o outra vez. Para apagar o ponto basta selecioná-lo e clicar em [b]Delete.[/b]
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Definição:
O gráfico de uma função quadrática [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] é uma parábola. Além disso, se o coeficiente de [math]x^2[/math] for positivo (isto é, [math]a>0[/math]) então a parábola tem concavidade voltada para cima e se o coeficiente de [math]x^2[/math] for negativo (isto é [math]a<0[/math]) então a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Exercício 5:
Verifique o sinal de [b]a[/b] e a concavidade das funções abaixo e complete a tabela.
Exercício 6:
Use o GeoGebra para traçar os gráficos e confirmar a concavidade. Para isso digite cada função do Exercício 5 em [b]Entrada.[/b] Se houver divergências confira onde errou e corrija.
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Definição:
Seja[br][math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math][br][math]x\mapsto y=ax^2+bx+c[/math][br][br]As raízes de uma função quadrática [math]f\left(x\right)[/math] são os valores de [math]x[/math] do seu domínio, tal que [math]f\left(x\right)=0[/math], ou seja, [math]ax^2+bx+c=0[/math].[br]Isto significa que o ponto [math]\left(x,0\right)[/math] é um ponto do gráfico da função.[br][br]A fórmula de resolução da equação do 2º grau [math]ax^2+bx+c=0[/math] é dada por:[br][math]x=\frac{-b\pm\sqrt{\bigtriangleup}}{2a}[/math], onde [math]\bigtriangleup=b^2-4ac[/math][br][br]Observe que:[br]se [math]\bigtriangleup>0[/math] a função possui duas raízes reais distintas;[br]se [math]\bigtriangleup=0[/math] a função possui duas raízes reais iguais;[br]se [math]\bigtriangleup<0[/math] a função não possui raízes reais.
Exercício 7:
Calcule algebricamente as raízes reais, caso existam, das funções: [math]f\left(x\right)=x^2+4x+4[/math], [math]g\left(x\right)=x^2+6x+5[/math] e [math]h\left(x\right)=-x^2+3x-4[/math].[br]Complete a tabela com os valores obtidos, representando pelas coordenadas dos pontos.
Exercício 8:
Use o GeoGebra para representar o gráfico de cada uma das funções do Exercício 7.[br]Para isto digite cada função no campo de [b]Entrada[/b] e dê [b]Enter[/b].[br]Agora represente as raízes.[br]Digite [b]Raiz[f][/b] no campo de [b]Entrada[/b] e dê [b]Enter[/b]. E assim para as outras duas funções, ou seja, [b]Raiz[g][/b] e [b]Raiz[h].[/b][br]Os pontos correspondentes as raízes serão marcados no gráfico. Confira com os calculados no Exercício 7.
f(x) = x² + 4x + 4
g(x) = x² + 6x + 5
h(x)= -x² + 3x – 4
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Vértice
Como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola então ele possui um ponto chamado vértice de coordenadas [math]\left(x_v,y_v\right)[/math] que poderá ser ponto de máximo (se a concavidade for voltada para baixo) ou de mínimo (se a concavidade for voltada para cima).[br]As coordenadas do vértice são dadas por [math]x_v=\frac{-b}{2a}\ e\ y_v=\frac{-\Delta}{4a}[/math], onde [math]\Delta=b^2-4ac[/math].
Exercício 9:
Calcule as coordenadas [math]x_v\ e\ y_v[/math] do vértice das funções [math]i\left(x\right)=-3x^2+x+1[/math] e [math]j\left(x\right)=x^2-1[/math].
Exercício 10:
Use o Geogebra para determinar esses vértices. Em [b]Entrada, [/b]digite a função [math]i\left(x\right)=-3x^2+x+1[/math] dê [b]Enter, [/b]digite a função [math]j\left(x\right)=x^2-1[/math] dê [b]Enter, [/b]depois novamente em [b]Entrada[/b] digite [b]Extremo[i] [/b]dê [b]Enter[/b] e [b]Extremo[j] [/b]dê [b]Enter.[/b] Os pontos correspondentes aos vértices dessas funções serão marcados nos respectivos gráficos. Confira se coincide com o calculado por você no Exercício 9.
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Imagem:
A ordenada do vértice ([math]y_v[/math]) e o sinal de [b]a,[/b] coeficiente do [math]x^2[/math], determina a imagem da função quadrática. A troca do sinal de [b]a [/b]interfere na imagem da função, pois muda a concavidade da parábola.[br][br]Considere a função quadrática [math]f[/math]:[br][math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math][br][math]x\mapsto y=ax^2+bx+c[/math][br]Se [math]a>0[/math] a concavidade é voltada para cima e o vértice representa um ponto de [b]mínimo[/b].[br]Neste caso a imagem da [math]f[/math] é dada por:[br][math]Im\left(f\right)=\left\{y\in\mathbb{R}\slash y\ge y_v\right\}[/math][br][br]Se [math]a<0[/math] a concavidade é voltada para baixo e o vértice representa um ponto de [b]máximo[/b].[br]Neste caso a imagem da [math]f[/math] é dada por:[br][math]Im\left(f\right)=\left\{y\in\mathbb{R}\slash y\le y_v\right\}[/math]
Exercício 11:
Determine algebricamente a imagem das funções [math]i\left(x\right)=-3x^2+x+1[/math] e [math]j\left(x\right)=x^2-1[/math]. Visualize geometricamente usando as animações abaixo no GeoGebra.
i(x) = - 3x²+x+1
j(x) = x²-1
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Fonte Luminosa. Praça da Sé. Pelourinho, Salvador, Bahia, Brasil.
Assista o vídeo:
Exercício 12:
Suponha que a água que sai de um dos jatos da Fonte Luminosa da Praça da Sé descreve uma trajetória parabólica definida pela função [math]f\left(x\right)=-2x^2+4x[/math], em que [math]f\left(x\right)=y[/math] representa a altura atingida pelo jato de água após ter percorrido horizontalmente uma distância [math]x[/math].[br]Sendo [math]x[/math] e [math]y[/math] medidos em metros, utilize seus conhecimentos sobre funções quadráticas e responda:
a) A altura máxima, em metros, que o jato de água alcançou foi de:
b) O alcance, em metros, do jato de água foi de:
c) Represente esta curva usando o GeoGebra. Confirme o ponto de máximo e as raízes.[br]Em [b]Entrada[/b], digite a função [math]f\left(x\right)=-2x^2+4x[/math] dê [b]Enter[/b], depois novamente em [b]Entrada[/b] digite [b]Extremo[f][/b] dê [b]Enter[/b] e [b]Raiz[f][/b] dê [b]Enter[/b]. O ponto correspondente ao vértice e as raízes dessa função serão marcados no gráfico. Confira se coincide com o que foi calculado por você para resolver os itens [b]a)[/b] e[b] b)[/b] do Exercício 12.
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Referências:
BRASIL. Ministério da Educação. [b]Base Nacional Comum Curricular[/b]. Brasília, 2018. Disponível em: < http://basenacionalcomum.mec.gov.br/>. Acesso em: 19 mai. 2021.[br][br]Lavainana.com.br. Disponível em: <https://lavainana.com.br/wp-content/uploads/2016/11/Salvador-5103.jpg>. Acesso em: 19 mai. 2021.[br][br]Jornalgrandebahia.com.br. Disponível em:[br]<https://cdn.jornalgrandebahia.com.br/2019/03/Prefeitura-recupera-fontes-luminosas-de-Salvador.jpg>.[br]Acesso em: 31 mai. 2021.[br][br]VOU VIAJAR TAMBÉM. Praça da Sé Pelourinho Salvador Bahia. Disponível em:[br]<https://www.youtube.com/watch?v=7L_1Xor3N_o>. Acesso em: 31 mai. 2021.
Matemáticas decoloniais
matemáticas; decolonizar; cooperação; cosmovisão
[b]Visite:[br][/b][br][url=https://matematicasdecoloniais.blogspot.com/]https://matematicasdecoloniais.blogspot.com/[br][/url][br]Aplicações para o estudo de funções quadráticas.