[size=85]Legyen adott az [i]ABC[/i] háromszög, továbbá [i]P[sub]0[/sub][/i]  a sík egy tetszőleges pontja! [br]Képezzük a [i]P[sub]0[/sub][/i], [i]P[sub]1[/sub][/i], ... [i]P[sub]n-1[/sub],[/i] [i]P[sub]n[/sub],  ...[/i] pontsorozatot úgy, hogy  [i]P[sub]n [/sub][/i]legyen  a [i]P[sub]n-1[/sub]V [/i]szakasz felezőpontja, ahol [i]V[/i] a háromszög  csúcsai közül véletlenszerűen választott pont. (Ezt a választást minden lépésben megismételjük.)[br][br]Milyen megállapítások tehetők a kapott pontsorozatról?[/size][right][size=85][url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos[/url][/size][/right]

[size=85]Amikor először hallottam erről a problémáról, azt gondoltam, hogy a háromszöglap bármely pontja egyenlő valószínűséggel fordulhat elő a pontsorozatban. De ha ez így lenne, akkor nem lenne érdekes ez a probléma, és - bizonyára - nem említette volna meg nekem[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos] Szilassi tanár úr[/url]. [br][/size][size=85]Ez után arra gondoltam, hogy modellezni kellene a problémát a GeoGebrával. Akadályba ütköztem, mert nem tudtam véletlen pontsorozatot generálni. A segítség - mint ahogy szokott - a probléma felvetőjétől érkezett:[/size]

[list][*][size=85]A pontok véletlen generálását a bal alsó sarokban levő gombra kattintva lehet elindítani. [/size][/*][*][size=85]A generálást ugyanerre kattintva lehet megállítani.[/size][/*][*][size=85]A háromszög csúcsainak elmozdításával lehet újra kezdeni a pontsorozat létrehozását.[/size][/*][*][size=85]Ha türelmesek vagyunk, és elég sokáig várunk akkor eljuthatunk a sejtéshez.[/size][/*][/list]

[size=85]Ismerős az ábra, amit kaptunk? Láttunk már ilyet valahol?[/size]

[size=85]Annak valószínűsége, hogy vizsgált pontsorozat majdnem minden tagja eleme az [math]ABC_{\Delta}[/math][/size][size=85] [url=https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mattan/2013/moor_istvan.pdf]Sierpinski-háromszög[/url]ének, 1.[/size]

[size=85]Most már "csak" a fenti sejtés bizonyítása maradt hátra ...[/size]

[list][*][size=85]Annak valószínűsége, hogy a [math]P_n[/math] pontsorozat minden tagja az [math]ABC_{\Delta}[/math] külső pontja nulla.[/size][/*][*][size=85]Ha a sorozat egy tagja az [math]ABC_{\Delta}[/math] belső pontja, akkor az azt követő tagok mindegyike belső pont.[/size][/*][*][size=85]Ha egy csúcs és egy pont által megadott szakasz felezőpontját vesszük, akkor a csúcsra vonatkozó [math]\frac{1}{2}[/math] arányú középpontos hasonlóságot alkalmazunk.[/size][/*][*][size=85]Mi az [math]ABC[/math] háromszöglap valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?[/size][/*][*][size=85]Mi az így kapott kép valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?[/size][/*][*] [/*][*] [/*][*] [/*][*][size=85]Segíthet a következő?[/size][/*][/list]