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Kugel-Kegel-Schnitte

Walter Füchte, Jul 7, 2018

Der Schnitt der Riemannschen Zahlenkugel mit einer beliebigen anderen Quadrik ergibt Schnittkurven 4. Ordnung. Stereographisch projiziert auf die Gausssche Zahlenebene erhält man bizirkulare Quartiken. Im Buch werden diese Schnittkurven möbiusgeometrisch klassifiziert und Möglichkeiten ihrer "Konstruktion" aufgezeigt. Dieses Buch wurde inzwischen unter anderem Autorennamen veröffentlicht. Dies hier ist das Original.

1. Kugel & Kegel
2. Schnittkurven Kugel-Quadrik
3. Zusammenhänge
4. Euklidische Koordinaten im Geradenraum
5. Konstruktion der Quartiken I
6. 2-teilig: Konstruktionen II
7. 2-teilig in 3D
8. Projektionen
9. 1-teilig: Konstruktionen
10. 1-teilig: Konstruktionen II
11. Kegelschnitte: Konstruktionen
12. Parabel als Quartik

Information

1.

Kugel & Kegel

Schnitt der Kugel mit einer 2. Quadrik

Von welcher Art sind die Schnittkurven, die als Schnitt der Kugel mit einer 2. Quadrik entstehen? Versucht man, diese möglichen Schnittkurven im euklidischen Raum zu klassifizieren, wird man schnell an Grenzen stoßen: schon allein beim Schnitt mit Kegeln wird man unterscheiden müssen, ob die Kegelspitze im Endlichen oder unendlich-fern liegt. Wir wollen in diesem book die Schnittkurven unter möbiusgeometrischen Gesichtspunkten klassifizieren. Die ebene Möbiusgometrie handelt von Punkten, Kreisen und Winkeln zwischen Kreisen. "Geraden" sind Kreise, die durch den Punkt

gehen, um den man die Ebene erweitert. Projiziert man die Ebene stereographisch auf die Kugel, so werden aus den Kreisen die Schnitte der Kugel mit Ebenen, die "Geraden" werden Kreise durch den Nordpol

. Zu einer Schnittkurve der Kugel mit einer 2. Quadrik gehört ein ganzes Quadrikbüschel mit derselben Schnittkurve. Die verschiedenen Typen lassen sich auch durch die Anzahl der Kegel in einem solchen Quadrikbüschel charakterisieren! Unter möbiusgeometrischen Gesichtspunkten reduzieren sich die möglichen Schnittkurven-Typen auf wenige wesentlich verschiedene Arten, die oben im Applet exemplarisch angedeutet sind. Wir wollen in diesem book die möglichen Typen angeben und einige ihrer wesentlichen Eigenschaften illustrieren. Die theoretischen Hintergründe führen wir ohne Beweise an. Die Beweise und Details werden in einem book über die Ebene Möbiusgeometrie demnächst nachzulesen sein.

Diese Seite ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018). Zu Kegelschnitten und zu Kreisscharen vergleiche man auch die geogebra-books Kegelschnitt-Werkzeuge und Sechseck-Netze.