Tomemos tres vectores en el espacio, vamos a combinarlos usando una matriz Sus combinaciones lineales en el espacio de 3 dimensiones son , para ciertos valores numéricos de Miremos algo importante: Reescribamos las combinaciones usando una matriz . Los vectores van en las columnas de la matriz y la matriz es "multiplicada" por el vector Los números son los componentes de un vector la matriz A por el vector es lo mismo que la combinación de las tres columnas. Esto es más que una definición de porque esta resescritura produce un cambio en el punto de vista. Inicialmente, los numeros multiplican los vectores. Ahora la matriz multiplica estos números. la matriz A actua sobre el vector la salida es una combinación lineal de las columnas de A. para ver esta acción voy a escribir como las componentes de

la entrada es y la salida es

Para un vector las únicas combinaciones lineales son los múltiplos . Para dos vectores, las combinaciones son + Para tres vectores, las combinaciones son ++. haremos el gran paso de una combinación a todas las combinaciones para c, d y e Supongamos que los vectores u, v, w están en un espacio tridimensional: 1. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones de ? 2. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones +? 3. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones ++? Las respuestas dependen de los vectores particulares , y . Si fueran el vector cero (un caso muy extremo), entonces cada combinación sería cero. Si son vectores típicos distintos de cero (componentes elegidos al azar), aquí están las tres respuestas. Esta es la clave de nuestro tema: 1. Las combinaciones pueden generar una línea a través de (0, 0, 0). 2. Las combinaciones cu + dv generan un plano que pasa por (0, 0, 0). 3. Las combinaciones cu + dv + ew generan todo el espacio tridimensional. El vector cero (0, 0, 0) está en la línea porque c puede ser cero. Está en el plano porque c y d podrían ser ambos cero. La línea de vectores es infinitamente larga (hacia adelante y hacia atrás). Pero es el plano de todos los + (combinando dos vectores en el espacio tridimensional) el que es importante que se imagine.