[br]Tomemos tres vectores en el espacio, vamos a combinarlos usando una [b]matriz[/b][br][math][br]\large [br]\text{Tres vectores}: \hspace{1cm} \vec{u}=\begin{bmatrix}[br]1 \\ [br]-1 \\ [br]0[br]\end{bmatrix} \hspace{1cm}[br][br]\vec{v}=\begin{bmatrix}[br]0 \\ [br]1 \\ [br]-1[br]\end{bmatrix} \hspace{1cm}[br][br]\vec{w}=\begin{bmatrix}[br]0 \\ [br]0 \\ [br]1[br]\end{bmatrix}[br][/math][br][br]Sus combinaciones lineales en el espacio de 3 dimensiones son [math][br]\large x_{1}\vec{u} + x_{2}\vec{v} + \space x_{3}\vec{w}[/math], para ciertos valores numéricos de [math]\large x_1,x_2,x_3[/math][br][br][math][br]\large [br]\text{Combinación de los vectores}\hspace{1cm}[br]x_{1}\begin{bmatrix}[br]1\\ [br]-1\\ [br]0[br]\end{bmatrix} +[br]x_{2}\begin{bmatrix}[br]0\\ [br]1\\ [br]-1[br]\end{bmatrix}+[br]x_{3}\begin{bmatrix}[br]0\\ [br]0\\ [br]1[br]\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}[br]x_{1}\\ [br]x_{2} -x_{1}\\ [br]x_{3}-x_{2}[br]\end{bmatrix}[br][/math][br][br]Miremos algo importante: [b][i]Reescribamos las combinaciones usando una matriz[/i][/b] . Los vectores[br][math] \large \vec{u},\vec{v},\vec{w} [/math] van en las columnas de la matriz y la matriz es "multiplicada" por el vector [math][br]\large [br]\begin{bmatrix}[br]x_{1}\\ [br]x_{2}\\ [br]x_{3}[br]\end{bmatrix} [/math][br][br][br][math][br]\large [br]\text{Matriz por vector } \hspace{1cm} \begin{bmatrix}[br]1 & 0 & 0 \\ [br] -1 & 1& 0 \\ [br] 0 & 1 & -1[br]\end{bmatrix}[br][br][br][br]\begin{bmatrix}[br]x_{1}\\ x_{2}[br]\\ [br]x_{3}[br]\end{bmatrix}=[br]\begin{bmatrix}[br]x_{1}\\ x_{2} -x_{1}[br]\\ [br]x_{3}-x_{2}[br]\end{bmatrix}[br][/math][br][br]Los números [math] \large x_{1},x_{2} , x_{3} [/math] son los componentes de un vector [math] \large \vec{x}[/math][br]la matriz A por el vector [math] \vec{x}[/math] es lo mismo que la combinación [math][br]\large x_{1}\vec{u} + x_{2}\vec{v} + \space x_{3}\vec{w}[/math] de las tres columnas.[br]Esto es más que una definición de [math] A\vec{x}[/math] porque esta resescritura produce un cambio en el punto de vista. Inicialmente, los numeros [math] \large x_{1},x_{2},x_{3} [/math] multiplican los vectores. Ahora la matriz multiplica estos números. la matriz A actua sobre el vector [math]\large \vec{x} [/math] la salida [math] A\vec{x} [/math] es una combinación lineal de las columnas de A.[br]para ver esta acción voy a escribir como [math] \large b_{1} , b_{2} , b_{3} [/math] las componentes de [math] \large A\vec{x}[/math][br][br][center][br][math][br][br]\large [br]\text{A\vec{x}=} \hspace{1cm} \begin{bmatrix}[br]1 & 0 & 0 \\ [br] -1 & 1& 0 \\ [br] 0 & 1 & -1[br]\end{bmatrix}[br][br][br][br]\begin{bmatrix}[br]x_{1}\\ x_{2}[br]\\ [br]x_{3}[br]\end{bmatrix}=[br]\begin{bmatrix}[br]x_{1}\\ x_{2} -x_{1}[br]\\ [br]x_{3}-x_{2}[br]\end{bmatrix} =[br]\begin{bmatrix}[br]b_{1}\\ b_{2}[br]\\ [br]b_{3}[br]\end{bmatrix}=b[br][/math][br][/center][br][br]la entrada es [math]\vec{x} [/math] y la salida es [math] A\vec{x} [/math][br]

Para un vector [math]\large \vec{u}[/math] las únicas combinaciones lineales son los múltiplos[math]\large c\vec{u}[/math] . Para dos vectores, las combinaciones son [math]\large c\vec{u}[/math] +[math]\large d\vec{v}[/math] Para tres vectores, las combinaciones son [math]\large c\vec{u}[/math]+[math]\large d\vec{v}[/math]+[math]\large e \vec{w}[/math]. haremos el gran paso de una combinación a todas las combinaciones para c, d y e[br]Supongamos que los vectores u, v, w están en un espacio tridimensional:[br][br]1. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones de [math]\large c\vec{u}[/math]?[br]2. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones [math]\large c\vec{u}[/math] +[math]\large d\vec{v}[/math]?[br]3. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones [math]\large c\vec{u}[/math]+[math]\large d\vec{v}[/math]+[math]\large e \vec{w}[/math]?[br][br]Las respuestas dependen de los vectores particulares [math]\large \vec{u}[/math], [math]\large \vec{v}[/math] y [math]\large \vec{w}[/math]. Si fueran el vector cero (un caso muy extremo), entonces cada combinación sería cero. Si son vectores típicos distintos de cero[br](componentes elegidos al azar), aquí están las tres respuestas. Esta es la clave de nuestro tema:[br][br][br]1. Las combinaciones pueden generar una línea a través de (0, 0, 0).[br]2. Las combinaciones cu + dv generan un plano que pasa por (0, 0, 0).[br]3. Las combinaciones cu + dv + ew generan todo el espacio tridimensional.[br][br][br]El vector cero (0, 0, 0) está en la línea porque c puede ser cero. Está en el plano porque c[br]y d podrían ser ambos cero. La línea de vectores [math]\large c\vec{u}[/math] es infinitamente larga (hacia adelante y hacia atrás). Pero es el plano de todos los [math]\large c \vec{u}[/math] +[math]\large d\vec{v}[/math] (combinando dos vectores en el espacio tridimensional) el que es importante que se imagine.