Rechenregeln von Grenzwerten
In dieser Lernumgebung können sich Oberstufenschüler:innen und Mathematikstudierende in 30-45 Minuten selbstständig die Rechenregeln von Grenzwerten erarbeiten. Dir sollte bereits bekannt sein, was ein Grenzwert ist. Auf der ersten Seite gibt es eine kurze Wiederholung, die dein Wissen nochmal auffrischen kann. Im Anschluss lernst du die Rechenregeln von Grenzwerten genauer kennen. Dazu sollst du die einzelnen Kapitel in ihrer Reihenfolge bearbeiten. [b]Aufgaben mit (*)[/b] sind zur [b]freiwilligen Bearbeitung[/b] und etwas schwieriger.
Table of Contents
- Grenzwert einer konvergenten Folge
- Wiederholung: Grenzwert einer konvergenten Folge
- Die Rechenregeln für Grenzwerte
- Übersicht Rechenregeln für Grenzwerte
- Die Rechenregeln a) und b)
- Erkunden: Faktorregel und Summen konvergenter Folgen
- Single-Choice Fragen zu Regeln a) und b)
- Die Rechenregeln c) und d)
- Erkunden: Produkte und Quotienten von konvergenten Folgen
- Single-Choice Fragen zu Regeln c) und d)
- Aufgaben zu a) - d)
- Aufgaben zu den Rechenregeln
- Lösungen zu den Aufgaben
- (*) weitere Aufgaben
- (*) Lösungen
- Literatur und Lizenz
- Literatur und Lizenz
Wiederholung: Grenzwert einer konvergenten Folge
Du hast bereits gelernt, wann eine Folge [i]konvergiert [/i]und was ein [i]Grenzwert [/i]ist. [br]Wenn du dir nicht mehr ganz sicher bist, kannst du dein Wissen hier etwas auffrischen. [br][br]Bewege dafür den Schieberegler n[sub]max[/sub] und beantworte die beiden unten stehenden Fragen. [br]Lass dir die Grenzwerte zunächst nicht anzeigen.
[code][br][/code]Was ist der Grenzwert von [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=\frac{1}{n}[/math] bzw. [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=2-\frac{1}{n}[/math]?
Beschreibe, woran du die beiden Grenzwerte [math]a[/math] und [math]b[/math] erkannt hast. Was fällt dir auf?
Übersicht Rechenregeln für Grenzwerte
[code][/code]Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}[/math] mit Grenzwert [i]b[/i][size=100]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br][/size]a) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\ge1}[/math] konvergent und es gilt[br] [math]\lim_{n\to\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br]b) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\ge1}[/math] ist konvergent und es gilt[br] [math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br]c) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math] ist konvergent und es gilt[br] [math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br]d) Sind alle [math]b_n\ne0[/math] sowie [math]b\ne0[/math], so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math] konvergent und es gilt [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br][br]
[size=85]Quelle: Cramer, E. et al. (2018): Impact Schülerarbeitsheft. Grundlagenkurs, Folgen und Reihen, Komplexe Zahlen. Version 2018. [br][/size]
Erkunden: Faktorregel und Summen konvergenter Folgen
Auf dieser Seite sind die ersten beiden Rechenregeln visualisiert. [br]Erprobe, wie sich die Folgen verhalten und nutze die Schieberegler, um die Parameter zu verändern. [br]Versuche nachzuvollziehen, was die Änderungen der Parameter bewirken und wie der Grenzwert der zu untersuchenden Folge bestimmt wird.
a) Faktorregel
Aktiviere in dieser Aktivität immer nur [b]ein Kontrollkästchen[/b], um einen besseren Überblick zu erhalten.
b) Summe konvergenter Folgen
[size=85]Die Applets basieren auf einer Vorlage von Eva Trinenberg [color=#3c78d8]([url=https://www.geogebra.org/m/necqhpyf#material/pgj3wxcc]https://www.geogebra.org/m/necqhpyf#material/pgj3wxcc[/url][/color]) und wurden von mir erstellt und für diese Lerneinheit angepasst. [/size]
Erkunden: Produkte und Quotienten von konvergenten Folgen
Auf dieser Seite sind die Rechenregeln c) und d) visualisiert. [br]Erprobe, wie sich die Folgen verhalten und nutze die Schieberegler. Gebe in den [b]Eingabefeldern[/b] [b]eigene Folgen[/b] ein. Versuche nachzuvollziehen, was die Änderungen der Parameter bewirken und wie der Grenzwert der zu untersuchenden Folge bestimmt wird. [br][br]Aktiviere in den Aktivitäten immer nur [b]ein Kontrollkästchen[/b], um einen besseren Überblick zu erhalten.
c) Produkt von zwei konvergenten Folgen
[u]Hinweis:[/u] Bei der folgenden Aktivität sind die Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet. Du kannst selbst überlegen, wie du die Werte als rationale Zahl schreiben kannst.
d) Quotient von zwei konvergenten Folgen
[size=85]Die Applets basieren auf einer Vorlage von Eva Trinenberg [color=#3c78d8]([/color][url=https://www.geogebra.org/m/necqhpyf#material/qm3vhchc][color=#3c78d8]https://www.geogebra.org/m/necqhpyf#material/qm3vhchc[/color][/url]) und wurden von mir erstellt und für diese Lerneinheit angepasst. [/size]
Aufgaben zu den Rechenregeln
Die Aufgaben dienen als Kontrolle, ob du die Rechenregeln verstanden hast und anwenden kannst. [br]Solltest du dir noch unsicher sein, schaue dir die Übersicht der Rechenregeln oder auch die Erkundungsseiten zu den Rechenregeln an. [br][br]Für deine Berechnung kannst du in die Notizen schreiben oder ein Blatt Papier benutzen.
1. Aufgabe
Untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme, falls existent, den Grenzwert.
i) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(3\cdot\frac{1}{n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]ii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(-4\cdot\frac{n+1}{n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iv) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(5\cdot\left(2-\frac{1}{n}\right)\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]v) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\left(-1\right)^n\cdot\frac{2}{n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.
2. Aufgabe
Untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme, falls existent, den Grenzwert.
i) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]ii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)+\left(2-\frac{1}{n}\right)\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{n}+3\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iv) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\left(2-\frac{1}{n}\right)+\left(-1+\frac{1}{n}\right)\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.
3. Aufgabe
Untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme, falls existent, den Grenzwert.
i) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(3-\frac{2}{n}\right)\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]ii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{2}{n}\cdot\left(5+\frac{1}{n}\right)\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\left(2+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(-1+\frac{3}{n}\right)\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.
4. Aufgabe
Untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme, falls existent, den Grenzwert.
i) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{2+\frac{1}{n}}{4+\frac{1}{n}}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]ii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{\frac{3}{n}}{3+\frac{2}{n}}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iii) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{5-\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{n}}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent. [br]iv) Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2+\frac{1}{n}\right)}{2}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.
Literatur und Lizenz
[b]Literatur[/b][br][br]Cramer, Erhard; Heitzer, Johanna; Helmin, Karolina; Henn, Gudrun; Mittler, Kirsten; Polaczek, Christa; Walcher, Sebastian; Wittich, Olaf; Zimmermann, Monika (2018): [i]Schülerarbeitsheft. Grundkurs – Folgen und Reihen, Komplexe Zahlen[/i]. iMPACt, Version 2018.[br][br][br][b]Lizenzen[/b][br][br]Dieses GeoGebra-Buch sowie alle darin enthaltenen Aktivitäten und Applets wurden – mit gekennzeichneten Ausnahmen – von mir selbst erstellt. Sowohl das gesamte Buch als auch die einzelnen von mir erstellten Materialien stehen unter der Lizenz CC BY-SA 4.0.[br]Die nicht von mir erstellten Applet sind im Buch gesondert gekennzeichnet.