SAMOLO, Mar 26, 2020

[b]PRESENTACIÓN[/b] Las referencias nos muestran que alrededor de 1600 A. c., la cultura Babilónica resolvió problemas relacionados con longitudes y áreas que actualmente se pueden expresar como un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y cuyo proceso de solución conduce a una ecuación de segundo grado (Boyer, 1968). Los griegos, alrededor del año 100 A. c., utilizaron métodos geométricos, para resolver estas ecuaciones, con base en algunas proposiciones de Los Elementos de Euclides. El mayor representante de la cultura hindú, en cuanto a la solución de ecuaciones cuadráticas se refiere, fue Brahmagupta, matemático y astrónomo, quien resolvió este tipo de ecuaciones mediante métodos aritméticos. Entre los árabes merecen destacarse MuHammad ibn Al-khwarizmi y Tabit Ben Qurra quienes, en el Siglo IX, proporcionaron métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. En épocas más recientes, en el Siglo XVI, F. Vieta, en el Siglo XVII R. Descartes, en el Siglo XVIII, T. Carlyle y en el Siglo XIX, K. V. Staudt proporcionaron otros métodos de solución para las ecuaciones de segundo grado. Nuestro propósito es presentar, desde el punto de vista geométrico, algunos de estos métodos de solución, para los cuales Ud. debe observar que todos, de una u otra manera, son equivalentes a la aplicación de la fórmula usual para hallar las raíces de una ecuación cuadrática. Cualquier comentario, observación, sugerencia puede dirigirla al correo samolo@udenar.edu.co

Para la ecuación de segundo grado los Babilonios consideraron tres tipos de ecuaciones: [math] x^2+c=bx, x^2=bx+c, x^2+bx=c [/math]y para cada tipo de ecuación, presentaban, en cada caso particular, un algoritmo numérico que proporcionaba una solución de la ecuación. Reproduciremos, en forma geométrica, los procedimientos para cada clase de ecuación.

• 1. BABILONIOS. Caso 1.
• 2. BABILONIOS. Caso 2
• 3. BABILONIOS. Caso 3.

Como hemos comentado los Babilonios resolvieron las ecuaciones de segundo grado a través de un procedimiento numérico, a diferencia de estos, los Griegos, a través de la denominada aplicación de áreas, resolvieron esta clase de ecuaciones a través de un procedimiento de carácter geométrico. Esta Álgebra geométrica, se encuentra expuesta de manera detallada en el Libro II de los Elementos de Euclides, por ejemplo, la proposición II.5 nos dice: [i]Si se corta un segmento en dos segmentos de igual longitud y simultáneamente en otros dos segmentos de longitudes diferentes entonces el área de rectángulo constituido por los segmentos desiguales más el área del cuadrado de lado la diferencia entre las dos partes es igual al área del cuadrado construido sobre la mitad del segmento dado.[/i] Esta proposición puede utilizarse para resolver ecuaciones de la forma [math]x^2+c=bx[/math] y con una interpretación adecuada representa la identidad [math]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/math]. Con relación a la ecuación cuadrática los Griegos consideraron cinco casos, así: [math]x^2=c, x^2=bx, x^2+c=bx, x^2+bx=c , x^2=bx+c[/math]. El primero consiste en construir la raíz cuadrada de un número y el segundo tiene como solución positiva [math]x=b[/math]. Consideraremos los casos restantes.

• 1. GRIEGOS. Caso 1.
• 2. GRIEGOS. Caso 2.
• 3. GRIEGOS. Caso 3.

Aunque en la [i]Aritmética[/i] de Diofanto, con la denominada algebra sincopada, se encuentran las bases para el desarrollo del álgebra, es necesario reconocer que el álgebra es el resultado de un proceso que tiene su inicio con los trabajos del matemático y astrónomo árabe MuHammad ibn Musa Al-khwarizmi. En la primera parte de su principal obra Hisab Aljabr wa´l muqabalah, que se ha traducido como “ciencia de la transposición y cancelación”, se encuentran los principales elementos de lo que en la actualidad denominamos álgebra (Recalde, 2018). Con respecto a las ecuaciones cuadráticas Al-Khwarizmi reconoce cinco tipos para cada uno de los cuales proporciona algoritmos de solución. Estos son: [math]ax^2=c, ax^2=bx, ax^2+c=bx, ax^2+bx=c, ax^2=bx+c[/math]. Es necesaria una observación. Las tres construcciones descritas en este capítulo son correctas desde el punto de vista teórico, pero no, desde la filosofía que debe tener una construcción GeoGebra, ya que, aunque estas funcionan perfectamente y proporcionan el dinamismo esperado fueron elaboradas a partir del segmento solución verdadero. Si Ud. tiene ideas sobre una mejor implementación de estos, le solicito, comedidamente, me informe al correo samolo@udenar.edu.co.

• 1. ÁRABES. Caso 1.
• 2. ÁRABES. Caso 2.
• 3. ÁRABES. Caso 3.

En este trabajo, con relación a la solución de la ecuación cuadrática, consideramos “La época moderna” como el espacio temporal que transcurre a partir del Siglo XVI y que por tanto cubre, cronológicamente, los esfuerzos realizados, en este sentido, por: F. Vieta, R. Descartes, T. Carlyle, K. V. Staudt y, posiblemente otros autores, de los cuales no he encontrado referencias.

• 1. El método de Vieta.
• 2. El método de Descartes.
• 3. El Método de Carlyle.
• 4. El método de Von Staudt.
• 5. Un algoritmo geométrico actual?.