[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br][/b]前回まで、微分方程式の型や解法、それで得られた関数や多項式を見てきた。[br]初心に帰って、そもそも微分方程式を解くって何だっけ？[br]から考えてみよう。[br][b][br][size=150][b]＜解の種類＞[/b][/size][br][/b][/size]微分方程式には一般解と特殊解があったね。[br]独立変数をｘとして、ｙがｘの関数のとき、ｘの値に関係なく微分方程式を満たす解が一般解だった。[br]それに対して微分方程式のｘなどのパラメータに条件をつけたものが特殊解だった。[br][br]そもそも、微分方程式は独立変数を時間ｔとして、ｔの関数としての運動を記述するイメージから始まった。そのときの条件というのは、ｔ＝０のときの状態ｙがどうかという初期値だった。[br]その初期条件から未来のｔの状態ｙを[b]予測するというイメージ[/b]だったね。これを[b]初期値問題[/b]という。[br][br]微分方程式ではもう一つ大切な使い方がある。それが、[b]境界値問題[/b]だ。[br]独立変数ｘが空間で位置を表すときに、[br][b]ｘの変域の境界での状態ｙ[/b]はいくつか？どう変化するか？という境界条件を与えるときに、[br]内部の状態ｙがどんな分布に落ち着くのか、どう安定するのか？[br]などの問いが生まれてきた。[br][br][b][color=#0000ff]言い換えると、時間の条件で解くのが初期値問題で、空間の条件で解くのが境界値問題だね。[br][/color][/b][br][b][size=150]＜境界値問題を解く＞[br][/size][/b]xの区間I=[a,b]で微分方程式を考える。[br]区間の両端x=a,x=bでのyまたはy'が境界条件を満たす解と求めることを境界値問題という。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]たとえば、微分方程式y''=exp(x) -2の解の境界値問題を考えてみよう。3つの境界条件がある。[br]境界条件A：y(0)=0, y(1)=0[br]境界条件B：y'(0)=0, y(1)=0[br]境界条件C：y’(0)=0,y'(1)=0　[br]まず一般解。変数が最初から分離しているので、両辺の積分を繰り返す。[br]y'=exp(x)- 2x+c , y = exp(x) - x[sup]2[/sup] +cx + d(これが一般解)[br]A：y(0)=1-0+d=0 ,y(1)=e-1+c+d=0 これから、d=-1, c=2-eとなる。解はy=exp(x)-x[sup]2[/sup]+(2-e)x-1[br]B：y'(0)=1 + c =0 , y(1)=e-1+c+d=0 これから、c=-1, d=2-eとなる。解はy=exp(x)-x[sup]2[/sup]-x+(2-e)[br]C：c=-1, y'(1)=e-2+c=0 これから、c,d は決まらず。解なし。[br][br][b][size=150]＜境界条件の３パターン＞[br][/size]境界条件BC(Boundary Condition)[/b] を３つのパターンに分けることがよくある。[br]xの区間I=[a,b]で微分方程式を考える。[br]区間の両端の[b]ｙの値[/b]を与えるもので、[b]ディリクレ条件（固定端条件）[/b]という。[br]区間の両端の[b]ｙ’の値[/b]を与えるもので、[b]ノイマン条件（自由端条件）[/b]という。[br]これらの単純形以外は混合型とか第３種条件ということが多い。[br]上の例ではAがディレクレ型、Bが混合型、Cがノイマン型だね。[color=#0000ff][br]（例）[/color][br]常微分方程式　y''-xy'-y=0[br]境界条件　y(0)=1, y'(0)=0[br]ｘ＝０のまわりのべき級数解ｙを求めよう。[br]y=a_0+a_1x+a_2x^2+ a_3x^3+ ........... + a_kx^k+.....　 =Σ(a_m xm) [ m for 0 to ∞][br]y'=a_1 +2a_2x + 3a_3x^2 + .......... + ka_kx^(k-1) +......1 =Σ(m a_m xm-1) [ m for 1 to ∞][br]y''=2 a_2 + 3・2 a_3 x + ........ + k(k-1) a_k x^(k-2) + ...... Σ(m(m-1) a_m xm-2) [ m for 2 to ∞][br]定数項和2a_2-a_0=0から、　a_2=1/2a_0[br]xの係数和 3・2 a_3 -a_1-a_1=0 から、　a_3=1/3a_1[br]x[sup]2[/sup]の係数和 4・3 a_4 -2a_2-a_2=0 から。a_4=1/4a_2[br]x[sup]k[/sup]の係数和 (k+2)(k+1) a_(k+2) -ka_k-a_k=0 から。a_(k+2)=1/(k+2)a_3x[sup]k+1[br][/sup]x_even=a_2s= [math]\frac{1}{\left(2s\right)!!}a_0[/math] [br]x_odd= a_2s+1=[math]\frac{1}{(2s+1)!!}a_1[/math][br]y0(x)=1+1/2x[sup]2[/sup]+1/4!! x[sup]4[/sup]+ 1/6!! x[sup]6[/sup]+....., [br]y1(x)=x+1/3!! x[sup]3[/sup]+1/5!! x[sup]5[/sup]+......[br]として、y(x)=a_0y0(x)+a_1y1(x)が一般解だ。次に境界値問題を解こう。[br]特別解は、[br]y(0)=a_0*1+a_1*0=1, y'(0)= a_0*0+a_1*1=0から、a_0=1, a_1=0から、[br]y(x)=1+1/2x[sup]2[/sup]+1/4!! x[sup]4[/sup]+ 1/6!! x[sup]6[/sup]+.....=[math]Σ1\frac{1}{s!}\left(\frac{x^2}{2}\right)^s=exp\left(\frac{x^2}{2}\right)[/math]

1次元熱伝導方程式（拡散方程式）uは温度で、位置x,時間tの関数としよう。[br]∂u/∂t＝c[sup]2[/sup] ∂[sup]2[/sup]u/∂x[sup]2[/sup]　または表式は、 u[sub]t[/sub] = c[sup]2[/sup] u[sub]xx[/sub]　[br][size=150][size=100][b]初期条件[/b]u(x,0)=f(x) ：０とLの間でのt=0の温度分布fはxの関数。[br][b]境界条件[/b]u(0,t)=u(L,t)=0 と,x=0,x=Lで断熱されているとすると、f(0)=f(L)=0となる。[br][/size][color=#0000ff]u(x,t)=g(x)h(t)とすると、境界条件からg(0)=g(L)=0[br][br][/color]u[sub]t[/sub]=∂(g(x)h(t))/∂t=g(x)h'(t), [br]c[sup]2[/sup] uxx=c[sup]2[/sup] ∂(g(x)h(t))/∂x=c[sup]2[/sup] h(t) g''(x)[br][color=#0000ff]g(x)h'(t)= [/color]c[sup]2[/sup] h(t) g''(x)となるので、[br][b]変数分離してg''(x)/g(x)=h'(t)/(c[sup]2[/sup]h(t))=k[/b]とおこう。[br]p=g'(x),Q=g'(x)とするとP=g(x),q=g''(x)で、g''=kgだから、[br]部分積分によって、[x for 0 to L] ∫(g')[sup]2[/sup]dx=[ gg']-∫gg''=0-0- k∫g[sup]2[/sup]dxが非負なので、kは負。[br][/size]なので、k=-p[sup]2[/sup]とおく。[br]・2階線形常微分方程式X：[b]g''(x)+p[sup]2[/sup] g(x)=0[/b][br]・1階線形常微分方程式T：[b]h'(t)+p[sup]2[/sup] c[sup]2[/sup]h(t)=0[br][/b]最初の熱伝導方程式は、この２つの常微分方程式に分解されたということだね。[br][br]・方程式Xの一般解は、特性方程式t[sup]2[/sup]+p[sup]2[/sup]=0は複素数解t=0+pi, q=0 -piを持つので、[br] g(x)=e[sup]0x[/sup](A cospx + B sinp x)= [b]A cos px + B sin px[/b]となるね。[br][b]境界条件[/b]から、g(0)=Acos0+Bsin0=A=0 , g(L)=0+ B sin pL = 0 pL=nπ p[b]=nπ/L[/b] [br]以上から、B=1として、[br][b]g[sub]n[/sub](x)= sin (nπ/L x) [n for 1 to ∞1][/b][br]・方程式Tの一般解は、から、[b]dh/dt=-(q[sup]n[/sup])[/b][sup]2[/sup][b]h[sub]n[/sub] q[sub]n[/sub]=cnπ/Lとする。[br][/b]変数分離して積分 ∫1/h[sub]n[/sub] dh=-(q[sub]n[/sub])[sup]2 [/sup]∫ 1 dt log|h[sub]n[/sub]|= -(q[sub]n[/sub])[sup]2 [/sup]t +c [br][b]h[sub]n[/sub](t)=Cn exp( -(q[sub]n[/sub])[sup]2 [/sup]t )[/b] [br]だから、[b]u[sub]n[/sub](x,t) =[/b] g[sub]n[/sub](x)h[sub]n[/sub](t) ＝Cn sin (nπ/L x) exp( -(q[sub]n[/sub])[sup]2 [/sup]t ) [br]そこで、[color=#0000ff][b]u(x,t) =[/b] [b]Σ Cn sin (nπ/L x) exp( -(q[/b][sub]n[/sub][b])[/b][sup]2 [/sup][/color][b][color=#0000ff]t )[/color][br][/b] [n for 1 to ∞](q[sub]n[/sub]=cnπ/L)を一般解としよう。[br]初期条件からu(x,0)=f(x)は上式のt=0だから、　[math]f(x)=Σ_{n=1}^{\infty}C_nsin(\frac{n\pi}{L}x)[/math]ここで、フーリエsin級数、f(t)=Σ an sin[ ] ならan=2/T ∫ f(t) sin[ ] dt[size=150]を参考にすると、[/size][br][b]Cn[/b]=[math]\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx[/math][b] とすればよいね。[br][/b]このとき、[b]u(x,t) =[/b] [math]Σ_{n=1}^∞Cn\cdot exp(-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2t)sin(\frac{n\pi}{L}x)[/math] 。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br] f(x)=if(x≦L/2, x, L-x)とする。[br]x=0, x=Lでは断熱されていて[b]初期温度はｘ＝L/２で最高になる三角形の分布[/b]f(x)=u(x,0)[br][b]Cn[/b]=[math]\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx=\frac{2}{L}\left(\int_0^{\frac{L}{2}}x\cdot sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx+\int_{\frac{L}{2}}^L\left(L-x\right)sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx\right)[/math] [br]カンタンのためにsin(nπ/L x)=S(x), cos(nπ/L x)=C(x)とおく。[br]x={0,L/2,L}に対して、[br][b]ｎ=(1,2,3,0) mod 4 のとき、s=(1,0,-1,0), c=(0,-1,0,1), cc=(-1,1,-1,1)[/b] とおくと、[br]S(x)={sin0, sin(nπ/2), sin(nπ)} =[b]{0, s, 0}[/b] ,[br]C(x)={cos0, cos(nπ/2), cos(nπ)}=[b]{1, c, cc}[/b][br]また、部分積分によって[b][color=#ff0000]∫[/color]x S(x)dx[br]=- L/nπ x C(x) + L/nπ[color=#ff0000]∫[/color]C(x)dx[/b] =[b]- L/nπ x C(x) + (L/nπ)[sup]2[/sup]S(x)[/b] より、[br][b]Cn[/b]= [math]\frac{2}{L}\left(\int_0^{\frac{L}{2}}x\cdot S(x)dx-\int_{\frac{L}{2}}^Lx\cdot S(x)dx+L\int_{\frac{L}{2}}^LS(x)dx\right)[/math] [br] [math]\int_0^{\frac{L}{2}}x\cdot S(x)dx=\left[-\frac{Lx}{n\pi}C\left(x\right)\right]_0^{\frac{L}{2}}+\left(\frac{L}{n\pi}\right)^2\left[S\left(x\right)\right]_0^{\frac{L}{2}}=-\frac{L^2}{2n\pi}c+\left(\frac{L}{n\pi}\right)^2s[/math] [br] [math]-\int_{^{_{\frac{L}{2}}}}^Lx\cdot S(x)dx=\left[\frac{Lx}{n\pi}C\left(x\right)\right]_{^{^{_{\frac{L}{2}}}}}^L-\left(\frac{L}{n\pi}\right)^2\left[S\left(x\right)\right]^{_{_{_{_{\frac{L}{2}}}}}}^{_L}=\frac{L^2}{n\pi}cc-\frac{L^2}{2n\pi}c+\left(\frac{L}{n\pi}\right)^2s[/math] [br] [math]L\int_{^{_{\frac{L}{2}}}}^LS(x)dx=-L\left[\frac{L}{n\pi}C\left(x\right)\right]_{^{^{_{\frac{L}{2}}}}}^L=-\frac{L^2}{n\pi}cc+\frac{L^2}{n\pi}c[/math] [br]これより、[br][b]Cn=[/b][math]\frac{2}{L}\left(2\left(\frac{L}{n\pi}\right)^2s\right)=\frac{4L}{n^2\pi^2}s[/math] [b]ｎ=(1,2,3,0) mod 4 のとき、s=(1,0,-1,0)[br][/b]つまり、nが偶数ならCn=0, [br]n=1,5,9,....,ならCn[math]=\frac{4L}{n^2\pi^2}[/math] , n=3,7,....なら、Cn[math]=-\frac{4L}{n^2\pi^2}[/math] [br][b]u(x,t) =[/b] [math]\frac{4L}{\pi^2}\cdot exp(-\left(\frac{1c\pi}{L}\right)^2t)sin(\frac{1\pi}{L}x)[/math] [math]-\frac{4L}{9\pi^2}\cdot exp(-\left(\frac{3c\pi}{L}\right)^2t)sin(\frac{3\pi}{L}x)[/math] [br] [math]+\frac{4L}{25\pi^2}\cdot exp(-\left(\frac{5c\pi}{L}\right)^2t)sin(\frac{5\pi}{L}x)[/math] [math]-\frac{4L}{49\pi^2}\cdot exp(-\left(\frac{7c\pi}{L}\right)^2t)sin(\frac{7\pi}{L}x)+....................[/math]

すごく長いタイトルですが、[br]・ラプラス方程式とはラプラシアンをしてゼロ。つまり、u=u(x,y)について、[b]u[sub]xx[/sub]+u[sub]yy[/sub]=0[/b][br]・[b]たてｙ＝ｂ、よこｘ＝aの長方形領域[/b]の中での状態uをみるということ。[br]・ディリクレ問題というのは、境界条件が[b]固定端[/b]ということだった。[br]　u(0,y)=u(a,y)[b]=0[/b]　　長方形の[color=#0000ff]左右は断熱[/color]。[br]　u(x,b)[b]=0[/b],u(x,0)[b]=f(x)[/b] 長方形の[color=#0000ff]上端は断熱。下端はfで分布[/color]。[br][br]・熱伝導方程式と同じように1変数関数の積で表し、変数分離しよう。[br]u(x,y)=g(x)h(y)。uxx=g''(x)h(y) , uyy=g(x)h''(y)より、uxx+uyy=g''(x)h(y) +g(x)h''(y)=0[br]g''(x)/g(x) =-h''(y)/h(y) =k とおくと、g''(x)=kg(x), h''(y)=-kh(y)。[br]・2階線形常微分方程式X：[b]g''(x)- k g(x)=0[/b][br]・2階線形常微分方程式X：[b]h''(y)+k h(y)=0[br][br][/b]・方程式Xの一般解は、熱伝導のときと同様にkが負だから、g(x)= A cos√-k x + B sin√-k xとなるね。[br]境界条件から、g(0)=Acos0+Bsin0=A=0 , g(a)=0+ B sin√-k a = 0 √-k a=nπ [b]√-k=nπ/a[/b] [br] k=-(nπ/a)[sup]2[/sup] 以上から、[b]gn(x)= sin (nπ/a x)[/b] [b] [n for 1 to ∞][/b]とおける。[br]・方程式Yの一般解は、熱伝導のときと反対に-kが正だから、特性方程式は２つの実数解±√-kをもつ。[br]だから、h[sub]n[/sub](y)= An exp(p[b] y) [/b] +Bn exp(-p[b] y) [n for 1 to ∞][/b]とおける。[color=#0000ff]簡単のために[/color][b][color=#0000ff]nπ/a＝ｐ[/color]。[/b][br]ここで、双曲線関数cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2, sinh(x)=[e^x-e^(-x)]/2を連想すると、[br]e^xはcoshとsinhの和であり、e^(-x)はcohとsinhの差で表せることに気づくね。式の変形しよう。[br]h[sub]n[/sub](y)=An(cosh(py)+sinh(p y))+Bn(cosh(p y)-sinh(py))[br]h[sub]n[/sub](y)=(An+Bn)cosh(py)+(An-Bn)cosh(p y)[br] =Cn cosh(nπ/a y)+Dnsinh(nπ/a y)[br][b]境界条件から、u(x,b)=hn(b)=[/b]Cn cosh(nπb/a )+Dnsinh(nπb/a )[b]=0 [/b]となり、[br]Cn=-Dn　sinh(nπb/a)/cosh(nπb/a)。[br][b]h[sub]n[/sub](y)[/b]= Cn cosh(nπ/a y)+Dnsinh(nπ/a y)[br] =-Dn[cosh(nπ/a y)sinh(nπb/a)ーsinh(nπ/a y)cosh(nπb/a) ]cosh(nπb/a)[br] =En sinh(nπ/a bーnπy/a）　加法定理sh(x±y)=sh(x)ch(y)±ch(x)sh(y)から[br][b]　　=En sinh(nπ (bーy)/a）[br][/b]以上から、重ね合わせをして、[br][b]u(x,y)=[/b]Σg[sub]n[/sub](x)h[sub]n[/sub](y)[b][n for 1 to ∞][br][/b]= ΣEn[b] sin (nπ x/a)[/b] [b] sinh(nπ (bーy)/a）[n for 1 to ∞][/b][br]sinフーリエ級数an=2/T ∫ f(t) sin[ 2π n t/T ] dtとすると、[br][size=150]f(t)=Σ an sin[ 2π n t/T] )　[/size][size=150]=2/T Σ sin[ 2π n t/T] ) ∫ f(t) sin[ 2π n t/T ] dt　だから、[br]f(0)=f(a)=0から、[-a,a]でf(x)が奇関数で2a周期で無限につなぐために、[/size][br][b]f(x)[/b]=[b]2/aΣ sin(nπx/a) ∫f(k)sin(nπk/a) dk [k for 0,a][/b]　としよう。[br]境界条件から、u(x,0)=ΣEn[b] sin (nπ x/a)[/b] [b] sinh(nπ (b)/a）=Σ sin(nπx/a) [b]2/a[/b] ∫f(k)sin[nπk/a] dkとなり、[/b][b] [color=#0000ff]En=2/[a [b]sinh(nπ b/a）][/b][/color][/b][color=#0000ff]∫f(x)sin[nπx/a] dx[/color]だね。[br][b]u(x,y)=[/b]Σgn(x)hn(y)[b][n for 1 to ∞][br][/b]= ΣEn[b] sin (nπ x/a)[/b] [b] sinh(nπ (bーy)/a）[n for 1 to ∞][/b][br]=[math]\frac{2}{a}Σ_{n=1}^{\infty}sin(\frac{n\pi x}{a})sinh(\frac{n\pi(bーy)}{a}）/sinh(\frac{n\pi b}{a}）\int_0^af(x)sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx[/math]

・波動方程式は熱伝導方程式の左辺を時間で2階偏微分にしたものだ。[br] 弦の振動を表したりするのに向いているね。[br]　つまり、u=u(x,y)について、∂[sub]2[/sub]u/∂t[sub]2[/sub]＝c[sup]2[/sup] ∂[sup]2[/sup]u/∂x[sup]2[/sup]　または表式は、 u[sub]tt[/sub] = c[sup]2[/sup] u[sub]xx[/sub]　[br][size=150][size=100][b]初期条件 初期変位[/b]u(x,0)=f(x) 、[b]初期速度[/b]u[sub]t[/sub](x,0)=v(x)。[br][b]境界条件[/b]u(0,t)=u(L,t)=0 から、f(0)=f(L)=0となる。[br][/size][color=#0000ff]u(x,t)=g(x)h(t)とすると、境界条件からg(0)=g(L)=0[br][br][/color]u[sub]tt[/sub]=∂[sup]2[/sup](g(x)h(t))/∂t[sup]2[/sup]=g(x)h''(t), [br]c[sup]2[/sup] u[sub]xx[/sub]=c[sup]2[/sup] ∂(g(x)h(t))/∂x=c[sup]2[/sup] h(t) g''(x)[br][color=#0000ff]g(x)h''(t)= [/color]c[sup]2[/sup] h(t) g''(x)となるので、[br][b]変数分離してg''(x)/g(x)=h''(t)/(c[sup]2[/sup]h(t))=k[/b]とおこう。[br]p=g'(x),Q=g'(x)とするとP=g(x),q=g''(x)で、g''=kgだから、[br]部分積分によって、[x for 0 to L] ∫(g')[sup]2[/sup]dx=[ gg']-∫gg''=0-0- k∫g[sup]2[/sup]dxが非負なので、kは負。[br][/size]なので、[b]k=-p[sup]2[/sup][/b]とおく。[br]・2階線形常微分方程式X：[b]g''(x)+p[sup]2[/sup] g(x)=0[/b][br]・2階線形常微分方程式T：[b]h''(t)+p[sup]2[/sup] c[sup]2[/sup]h(t)=0[br][/b]最初の熱伝導方程式は、この２つの常微分方程式に分解されたということだね。[br][br]・方程式Xの一般解は、特性方程式t[sup]2[/sup]+p[sup]2[/sup]=0は複素数解t=0+pi, q=0 -piを持つので、[br] g(x)=e[sup]0x[/sup](A cospx + B sinpx)= [b]A cos px + B sin px[/b]となるね。[br][b]境界条件[/b]から、g(0)=Acos0+Bsin0=A=0 , g(L)=0+ B sin pL = 0 pL=nπ [b]p=nπ/L[/b] [br]以上から、B=1として、[br][b]g[sub]n[/sub](x)= sin (nπ/L x) [n for 1 to ∞1][/b][br]・方程式Tの一般解は、特性方程式t[sup]2[/sup]+(pc)[sup]2[/sup]=0は複素数解t=0+pci, q=0 -pciを持つので、[br] h(t)=e[sup]0x[/sup](C cospct + D sinpct)= [b]C cos pct + D sin pct[/b]となるね。pc=[b]cnπ/L=qn[/b]として、[br][b]hn(t)=Cncos qn t + Dn sin qn t[/b]とおく。[br]・以上から、一般解は、[br][b]un(x,t)=[/b]Σg[sub]n[/sub](x)h[sub]n[/sub](t)[b][n for 1 to ∞][/b]= Σ[b] (Cn cos qn t + Dn sin qn t ) sin (nπ/[/b][b]L x)[n for 1 to ∞][br][/b]qn=[b]cnπ/L[/b] を固有値、それに対するunを固有関数という。{q1, q2,.....}をスペクトル。[br]qn/2π= cn/2Lが振動数。[br][b]初期条件u(x,0)=f(x)[/b]から、u(x,0)=Σ qn(Cn cos0 + Dn sin 0 ) sin (nπ/L x)[n for 1 to ∞][b][br][/b]=Σ [b]Cn[/b] sin (nπ/L x) [n for 1 to ∞]=f(x)[br]sinフーリエ級数an=2/T ∫ f(t) sin[ ] dtとすると、[size=150]f(t)=Σ an sin[ ] [/size][size=150]だから、[br][size=100][b]Cn=2/L [/b][b]∫[sub]0[/sub][sup]L[/sup] f(x) sin [/b][b](nπ/L x) dx [n for 1 to ∞][br][/b][/size][size=100][b]初期条件u[sub]t[/sub](x,0)=v(x)[/b]から、u[sub]t[/sub](x,0)=Σ qn(-Cn sin0 + Dn cos 0 ) sin (nπ/L x)[n for 1 to ∞][b][br][/b]=Σ [b]Dn qn[/b] sin (nπ/L x)[n for 1 to ∞] = v(x)[br][/size][/size]sinフーリエ級数an=2/T ∫ f(t) sin[ ] dtとすると、[size=150]f(t)=Σ an sin[ ] [/size][size=150]だから、[br][size=100]Dn qn=2/L ∫[sub]0[/sub][sup]L[/sup] v(x) sin (nπ/L x) dx [n for 1 to ∞]（cnπ/L=qn）[br][b]Dn =2/cnπ [/b][b]∫[sub]0[/sub][sup]L[/sup] v(x) sin [/b][b](nπ/L x) dx [n for 1 to ∞][br][/b][/size][/size]つまり、[br][b][b][n for 1 to ∞][/b][/b][br][color=#0000ff][b]u(x,t) = Σ (Cn cos qn t + Dn sin qn t ) sin (nπx /L)（ncπ/L=qn）[br] Cn = 2/L ∫[sub]0[/sub][sup]L[/sup] f(x) sin (nπ/L x) dx [br] Dn = 2/cnπ ∫[sub]0[/sub][sup]L[/sup] v(x) sin (nπ/L x) dx [br][/b][/color][color=#0000ff]（例）[br][/color]初期変位f(x)=if(x≦L/2, x, L-x)とすると、初期速度v(x)=0となり、Dn=0。[br][color=#0000ff]u(x,t)=[b]Σ Cn cos([b][b]ncπ/L [/b][/b]t) sin (nπ/L [b]x[/b])[b]（ncπ/L=qn）[/b][/b][br][/color]x=0, x=Lは固定されていて変位[b]はｘ＝L/２で最高になる三角形の分布[/b]f(x)=u(x,0)[br][b]Cn[/b]=[math]\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx=\frac{2}{L}\left(\int_0^{\frac{L}{2}}x\cdot sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx+\int_{\frac{L}{2}}^L\left(L-x\right)sin(\frac{n\pi}{L\text{ }}x)dx\right)[/math] [br] このあとCnの求め方は、上の２．熱伝導方程式の境界値問題の例と同じなので、[br]　途中省略[br]n=1,5,9,....,ならCn[math]=\frac{4L}{n^2\pi^2}[/math] , n=3,7,....なら、Cn[math]=-\frac{4L}{n^2\pi^2}[/math] [br][b]u(x,t) =[/b] [math]\frac{4L}{\pi^2}\cdot cos(\frac{1c\pi}{L}t)sin(\frac{1\pi}{L}x)[/math] [math]-\frac{4L}{9\pi^2}\cdot cos(\frac{3c\pi}{L}t)sin(\frac{3\pi}{L}x)[/math] [br] [math]+\frac{4L}{25\pi^2}\cdot cos(\frac{5c\pi}{L}t)sin(\frac{5\pi}{L}x)[/math] [math]-\frac{4L}{49\pi^2}\cdot cos(\left(\frac{7c\pi}{L}\right)t)sin(\frac{7\pi}{L}x)+....................[/math] [br]