[size=85][size=85][size=85][size=50][right][size=85][size=85][size=50][/size][/size][/size][/right][right][color=#980000]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][br][/right][/size][/size][/size][br][/size][size=85]Eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] ist eine implizit gegebene Kurve mit der Gleichung[/size][br][list][*][size=85][math]qu(x,y)=a_8\cdot\left(x^2+y^2\right)^2+\left(a_7\cdot x+a_6\cdot y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)+\left(a_5\cdot x^2+a_4\cdot xy+a_3\cdot y^2\right)+a_2\cdot x+a_1\cdot y+a_0=0[/math] [br]mit reellen Koeffizienten [math]a_{0,}...,a_8[/math].[/size][/*][/list][size=85]Zu diesen Kurven gehören viele berühmte spezielle ebene Kurven: die [i][b]Cassini-Kurven[/b][/i], die [i][b]spirischen Linien des Perseus[/b][/i], [br]die [i][b]kartesischen Ovale[/b][/i], die [i][b]Strophoiden[/b][/i], aber auch die [i][b]Kegelschnitte[/b][/i].[br]Die Klasse der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] ist invariant unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color].[br]Eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] besitzt [b]4[/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color],[color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]3[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]4[/sub][/b][/color].[br]Jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] ist Kurve einer [i][b]Schar[/b][/i] von [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], welche Lösungskurven[br]einer [i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i] [math]f'\,^2=c\cdot \left(f-f_1\right)\cdot\left(f-f_2\right)\cdot\left(f-f_3\right)\cdot\left(f-f_4\right)[/math] mit geeignetem [math]c\in\mathbb{C}[/math] sind.[br]Der Typ einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] wird durch die Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color]bestimmt:[br][/size][list][*][size=85]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind verschieden und [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color]. [br]Die Kurve ist [b]2-teilig[/b] und [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu [b]4[/b] paarweise [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color], einer davon ist imaginär. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist Hüllkurve von [b]4[/b] verschiedenen Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color].[/size][br][/*][*][size=85]Die [b]4[/b] verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen [color=#f1c232][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color]. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist [b]1-teilig[/b] und [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu diesen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist Hüllkurve von [b]2[/b] Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]2 der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] fallen zusammen. [br]Wählt man diesen doppelt-zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] als [math]\infty[/math], so ist die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] [br]ein [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] der Schar [color=#ff7700][i][b][color=#38761D]konfokaler[/color] Ellipsen/Hyperbeln[/b][/i][/color]. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] ist [color=#BF9000][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu 2 [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Achsen[/b][/i][/color]. [br]Sie ist Hüllkurve von [b]3[/b] Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color], [br]wobei die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] als eine dieser Scharen gerechnet sind.[/size][/*][*][size=85]3 der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] fallen zusammen. [br]Wählt man diesen als [math]\infty[/math], so ist die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] eine [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] einer Schar [color=#ff7700][i][b][color=#38761D]konfokaler[/color] Parabeln[/b][/i][/color] [br]mit einer [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Achse[/b][/i][/color]. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Parabel [/b][/i][/color]ist Hüllkurve der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Tangenten[/b][/i][/color] [br]und einer weiteren Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]2 doppelt-zählende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] oder ein [b]4[/b]-fach zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]: [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist das Produkt zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/color].[br][/size][/*][/list]

[color=#980000][i][b]Ausblick:[br][/b][/i][color=#000000][size=85][color=#134F5C][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color] sind Flächen, die implizit definiert sind durch Gleichungen der Form:[br][/size][/color][/color][list][*][color=#980000][color=#000000][size=85][math]\alpha\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+L\left(x,y,z\right)\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)+Q\left(x,y,z\right)=0[/math] [br]mit [math]\alpha\in\mathbb{R}[/math], linearem [math]L\left(x,y,z\right)[/math] und quadratischem [math]Q\left(x,y,z\right)[/math][/size][/color][/color][size=85], jeweils mit reellen Koeffizienten.[br][/size][/*][/list][color=#980000][color=#000000][size=85]Zu diesem Flächentyp gehören die [color=#38761D][i][b]Dupinschen Cycliden[/b][/i][/color], die [color=#351C75][i][b]Tori[/b][/i][/color] und auch die [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color].[br]Diese Flächen sind die räumlichen Fortsetzungen der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[br]Schnitte mit [color=#ff0000][b][i]Kugeln[/i][/b][/color] und [color=#ff0000][i][b]Ebenen[/b][/i][/color] sind [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br]Die einzelnen Flächen sind ebenfalls stets Teil einer [color=#38761D][i][b]konfokalen Schar[/b][/i][/color] von [color=#1155Cc][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color].[br][color=#999999][i][b]Doppelt-berührende Kugeln[/b][/i][/color] berühren in einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] oder schneiden in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br]Für [color=#f1c232][i][b]Symmetriekugeln[/b][/i][/color] oder [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Ebenen[/b][/i][/color] können die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Schnitt-Quartiken[/b][/i][/color] [br]zu [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kugeln[/b][/i][/color] der [color=#1155Cc][i][b]Cycliden[/b][/i][/color] fortgesetzt werden: [br]auf diese Weise erhält man die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf diesen Flächen.[br][br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] und [color=#1155Cc][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color] lassen sich auf vielfältige Weisen als die Überlagerung [br]von [color=#ff0000][i][b]Kreis-[/b][/i][/color] bzw. [i][b]Kugel-Wellen[/b][/i] deuten.[/size][/color][/color]