Was bedeutet [i]geometrisch[/i] die Gleichung [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet ,\mathbf\vec{g}_2=0\mbox{ für } \mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2\in \large\mathcal{ G}[/math]?[br][list][*]Ist einer der Vektoren ein Berührgeradenvektor [math]\mathbf\vec{p}\mbox{ mit }\mathbf\vec{p}^2=0[/math], so besitzt der andere Vektor [math]\mathbf\vec{p} [/math] als Pol.[br][/*][*]Ist [math]\mathbf\vec{g}_j\,^2\neq0\mbox{ für }j=1,2[/math], so [i]trennen[/i] sich die Pole [math]\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{g}_2\mbox{ von }\mathbf\vec{g}_1[/math] und [math]\mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_4\mbox{ von }\mathbf\vec{p}_2[/math] [i]harmonisch[/i].[/*][/list][br][size=85][u][i]Begründung der 2. Aussage[/i][/u]: Man kann komplex umnormieren[/size] [math]w_1\cdot\mathbf\vec{g}_1=:\mathbf\vec{g}_{12}\mbox{ und }w_2\cdot\mathbf\vec{g}_2=:\mathbf\vec{g}_{34}[/math][size=85], sodass[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{12}\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_{34}[/math] [size=85]Schnittgeraden sind. Aus[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{12}\bullet \mathbf\vec{g}_{34}=0[/math] [size=85]folgt nun: Die Geraden[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{12}\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_{34}[/math] [size=85]schneiden sich im Inneren der Möbiusquadrik: Schnittpunkt [i][b]S[/b][/i]; die polaren Geraden[/size] [math]i\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\mbox{ und }i\cdot\mathbf\vec{g}_{34}[/math] [size=85]schneiden sich ebenfalls: Schnittpunkt [i][b]A[/b][/i]; schließlich schneiden sich[/size] [math]i\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_{34}[/math] [size=85]sowie [/size] [math]\mathbf\vec{g}_{12}\mbox{ und }i\cdot\mathbf\vec{g}_{34}[/math] [size=85]in den Schnittpunkten [i][b]B[/b][/i] und [i][b]C[/b][/i]. [i][b]A[/b][/i], [i][b]B[/b][/i],[b][i] C[/i][/b] sind die Pole von 3 paarweise orthogonalen Kreisen[/size] [math]K_A,K_B,K_C[/math][size=85]. Auf[/size] [math]K_A[/math] [size=85]liegen die 4 Pole [math]\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2 \mbox{ von }\mathbf\vec{g}_{12}[/math] und [math]\mathbf\vec{p}_3,\,\mathbf\vec{p}_4 \mbox{ von }\mathbf\vec{g}_{34}[/math], während die Spiegelungen an den anderen Kreisen jeweils ein Paar der Pole festläßt und das andere Paar vertauscht. Das bedeutet harmonische Lage der Pole [/size] [math]\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2 \mbox{ und }\mathbf\vec{p}_3,\,\mathbf\vec{p}_4[/math].[br]Im Applet kann man die Punkte [math]\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2[/math] auf der Quadrik sowie den Schnittpunkt [i][b]S[/b][/i] der Geraden [math]\mathbf\vec{g}_{12}[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{34} [/math] bewegen.[br]Wir werden an späterer Stelle zeigen, dass [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet ,\mathbf\vec{g}_2=0[/math] gleichbedeutend mit [math]\mathbf Dv\left(\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2,\, \mathbf\vec{p}_3,\,\mathbf\vec{p}_4 \right)=-1[/math] ist.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]