Wenn man eine Funktion [math]f(x)[/math] ableitet, dann erhält man die erste Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math]. Wenn man die Funktionsgleichung von [math]f'(x)[/math] noch einmal ableitet, dann erhält man die zweite Ableitungsfunktion [math]f''(x)[/math]. [br][br]Auch [math]f''(x)[/math] kann man wieder ableiten und man erhält [math]f'''(x)[/math] und so geht es weiter ...[br][br][b][size=150]Ein Beispiel:[/size][/b][br][math]f(x)=2x^4-3x^3+6x^2-x+5[/math][br][math]\Rightarrow f'(x)=8x^3-9x^2+12x-1[/math][br][math]\Rightarrow f''(x)=24x^2-18x+12[/math][br][math]\Rightarrow f'''(x)=48x-18[/math][br][math]\Rightarrow f''''(x)=48[/math][br]Alle weiteren Ableitungsfunktionen sind gleich Null[br]

Die Funktionswerte der ersten Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] beschreiben die Tangentensteigungen oder die Änderungen der Funktionswerte der Funktion [math]f(x)[/math]. [br][br]Dann sind die Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion [math]f''(x)[/math] die Steigungen oder die Änderungen der ersten Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math].[br][br]In Bezug auf die Funktion [math]f(x)[/math] kann man auch sagen, die zweite Ableitung [math]f''(x)[/math] beschreibt [b]die Änderung der Änderung[/b] von [math]f(x)[/math] oder auch die [b]Änderung der Steigung[/b] von [math]f(x)[/math]. [br][list][*]Wenn die zweite Ableitung [math]f''(x)[/math] an einer Stelle [math]x[/math] einen positiven Funktionswert hat, dann nimmt die Steigung des Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] zu. [color=#980000]Wenn die Steigung zunimmt[/color], oder "positiver" wird, dann hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine [size=150][size=200][color=#980000][b]Linkskrümmung[/b][/color][/size][/size].[/*][*]Wenn die zweite Ableitung [math]f''(x)[/math] an einer Stelle [math]x[/math] einen negativen Funktionswert hat, dann nimmt die Steigung des Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] ab. [color=#38761D]Wenn die Steigung abnimmt[/color], oder "negativer" wird, dann hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine [size=150][size=200][color=#38761D][b]Rechtskrümmung[/b][/color][/size][/size].[br][/*][/list]

An den Funktionswerten einer 2-ten Ableitung [math]f''(x)[/math] kann man [b]nur[/b] die Krümmungs[b]richtung[/b] ablesen, nicht "[b]wie krumm[/b]" der Funktionsgraf ist. Ein hoher Funktionswert der zweiten Ableitung heißt nicht, dass der Funktionsgraf der betrachteten Funktion [math]f[/math] an dieser Stelle auch einen kleinen Krümmungsradius hat. [br][br]Es gibt tatsächlich eine Möglichkeit, mit Ableitungsfunktionen den Krümmungsradius [math]R(x)[/math] an einer Stelle [math]x[/math] einer Funktion [math]f(x)[/math] zu brechnen. Die Gleichung dafür lautet:[br][br][math]R(x)=\frac{\left(\sqrt{\left(f'(x)\right)^2+1}\right)^3}{f''(x)}[/math][br][br]Ein kleiner Krümmungsradius bedeutet eine starke Krümmung, insofern wächst die Krümmung tatsächlich mit dem Funktionswert der zweiten Ableitung. Aber da der Krümmungsradius sogar noch stärker von der Funktion der ersten Ableitung abhängt, reicht der Blick auf die zweite Ableitung nicht, um die Stärke der Krümmung eines Funktionsgrafen zu beurteilen.