Wenn man eine Funktion [math]f(x)[/math] ableitet, dann erhält man die erste Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math]. Wenn man die Funktionsgleichung von [math]f'(x)[/math] noch einmal ableitet, dann erhält man die zweite Ableitungsfunktion [math]f''(x)[/math]. [br][br]Auch [math]f''(x)[/math] kann man wieder ableiten und man erhält [math]f'''(x)[/math] und so geht es weiter ...[br][br][b][size=150]Ein Beispiel:[/size][/b][br][math]f(x)=2x^4-3x^3+6x^2-x+5[/math][br][math]\Rightarrow f'(x)=8x^3-9x^2+12x-1[/math][br][math]\Rightarrow f''(x)=24x^2-18x+12[/math][br][math]\Rightarrow f'''(x)=48x-18[/math][br][math]\Rightarrow f''''(x)=48[/math][br]Alle weiteren Ableitungsfunktionen sind gleich Null[br]
Die Funktionswerte der ersten Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] beschreiben die Tangentensteigungen oder die Änderungen der Funktionswerte der Funktion [math]f(x)[/math]. [br][br]Dann sind die Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion [math]f''(x)[/math] die Steigungen oder die Änderungen der ersten Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math].[br][br]In Bezug auf die Funktion [math]f(x)[/math] kann man auch sagen, die zweite Ableitung [math]f''(x)[/math] beschreibt [b]die Änderung der Änderung[/b] von [math]f(x)[/math] oder auch die [b]Änderung der Steigung[/b] von [math]f(x)[/math]. [br][list][*]Wenn die zweite Ableitung [math]f''(x)[/math] an einer Stelle [math]x[/math] einen positiven Funktionswert hat, dann nimmt die Steigung des Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] zu. [color=#980000]Wenn die Steigung zunimmt[/color], oder "positiver" wird, dann hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine [size=150][size=200][color=#980000][b]Linkskrümmung[/b][/color][/size][/size].[/*][*]Wenn die zweite Ableitung [math]f''(x)[/math] an einer Stelle [math]x[/math] einen negativen Funktionswert hat, dann nimmt die Steigung des Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] ab. [color=#38761D]Wenn die Steigung abnimmt[/color], oder "negativer" wird, dann hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine [size=150][size=200][color=#38761D][b]Rechtskrümmung[/b][/color][/size][/size].[br][/*][/list]