Eine [b]Funktion f[/b] heißt im Intervall I [b]konvex[/b], falls für alle [math]x_0,x_1\in I[/math] und [math]\lambda\in\left(0;1\right)[/math] die Ungleichung[br][center][br] [math]f\left(\left(1-\lambda\right)\cdot x_0+\lambda\cdot x_1\right)\le\left(1-\lambda\right)\cdot f\left(x_0\right)+\lambda\cdot f\left(x_1\right)[/math][br]bzw. [math]f\left(x_0+\lambda\cdot\left(x_1-x_0\right)\right)\le f\left(x_0\right)+\lambda\cdot\left(f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)\right)[/math] gilt.[/center][br]Eine [b]Funktion f[/b] heißt im Intervall I [b]konkav[/b], falls für alle [math]x_0,x_1\in I[/math] und [math]\lambda\in\left(0;1\right)[/math] die Ungleichung [center][br][math]f\left(\left(1-\lambda\right)\cdot x_0+\lambda\cdot x_1\right)\ge\left(1-\lambda\right)\cdot f\left(x_0\right)+\lambda\cdot f\left(x_1\right)[/math][br]bzw. [math]f\left(x_0+\lambda\cdot\left(x_1-x_0\right)\right)\ge f\left(x_0\right)+\lambda\cdot\left(f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)\right)[/math] gilt.[/center]

Eine [b]konvexe Funktion[/b] ist eine Funktion, bei der die [b]Sekanten [/b]des Graphen [b]oberhalb [/b]des [b]Graphen [/b]liegen.[br]Eine [b]konkave Funktion[/b] ist eine Funktion, bei der die [b]Sekanten [/b]des Graphen [b]unterhalb [/b]des [b]Graphen [/b]liegen.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]In dem Applet ist eine Funktion [math]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};f\left(x\right)=a\cdot\left(x-b\right)^2+c[/math] gegeben, bei der der Koeffizient a mit einem Schieberegler verändert werden kann.[br]Blenden Sie die Hilfslinie ein und untersuchen Sie die Eigenschaften Konvexität bzw. Konkavität der Funktion.[br]