[color=#000000]Через сторону АD ромба АВС[/color]D проведена плоскость альфа, удаленная от ВС на расстояние равное 3sqrt(3) см. Сторона ромба  - 12 см, угол ВСD равен 30 градусов. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа.

[math]\angle DCF=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}[/math][br][math]cos\angle DCF=\frac{CF}{CD}\Longrightarrow CF=cos\angle DCF\times CD=cos60^{\circ}\times12=6см[/math][br][math]sin\angle GFC=\frac{GC}{CF}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow\angle GFC=60^{\circ}[/math][br]Ответ: Угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа равен [math]60^{\circ}[/math].

Треугольник АСВ - прямоугольный (угол С - прямой), АС=СВ=3 см. Треугольник АМС имеет общую сторону АС с треугольниом АСВ; АМ =СМ=sqrt(6) см. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны.[br]а) Докажите, что МС перпендикулярен ВС.[br]б) Найдите угол между МВ и плоскостью ABC.[br]3* Найдите расстояние от середины АВ - точки Е - до плоскости ВМС.

а) Прямые BC и MC перпендикулярны, так как по условию нам сказано, что плоскости, в которых они находятся (треугольники ABC и AMC), взаимно перпендикулярны. Проекция MC на плоскости ABC попадает на прямую AC, которая перпендикулярна к CB (по условию угол C прямой). Дальше действует теорема о трех перпендикулярах: если проекция наклонной перпендикулярна прямой, лежащей в какой-то плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.[br][br]б) Так как треугольник AMC равнобедренный, то высота является и медианой. Оттуда следует, что [math]CH=3\div2=1.5[/math]см[br]По теореме Пифагора можно найти MH и MB:[br][math]MH=\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2-1.5^2}=\sqrt{6-2.25}=\sqrt{3.75}=0.5\sqrt{15}см[/math][br][math]MB=\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2+3^2}=\sqrt{6+9}=\sqrt{15}см[/math][br][math]sin\angle MBH=\frac{MH}{MB}=\frac{0.5\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=0.5\Longrightarrow\angle MBH=30^{\circ}[/math]Ответ: Угол между МВ и плоскостью ABC равен [math]30^{\circ}[/math].[br][br]3*) ER, RI и IE - серединные линии треугольников ABC, MCB и MAB.[br][math]ER=\frac{AC}{2}=\frac{3}{2}см[/math][br][math]RI=\frac{MC}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}см[/math][br][math]IE=\frac{MA}{2}=RI=\frac{\sqrt{6}}{2}см[/math][br]Треугольник ERI - равнобедренный, где одной из высот является EK - расстояние от середины AB (точки Е) до плоскости BMC. Вторая высота IJ является также медианой этого треугольника.[br]Площадь треугольника: [math]ERI=\frac{ER\times IJ}{2}[/math]По теореме Пифагора: [br][math]IJ=\sqrt{RI^2-RJ^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{6}{4}-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}см[/math][br]Площадь треугольника: [math]ERI=\frac{\frac{3}{2}\times\frac{\sqrt{15}}{4}}{2}=\frac{3\sqrt{15}}{16}см^2[/math][br][math]\frac{3\sqrt{15}}{16}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{2}\times EK\Longrightarrow EK=\frac{3\sqrt{15}}{16}\div\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{3}{4}\times\sqrt{\frac{15}{6}}=\frac{3}{4}\times\sqrt{2.5}=\frac{3}{4}\times0.5\sqrt{10}=\frac{3\sqrt{10}}{8}[/math][br]Ответ: Расстояние от середины АВ (точки Е) до плоскости ВМС равно [math]\frac{3\sqrt{10}}{8}[/math]см.