Szerkesszük meg a P-modellen azt a [u]pozitív körüljárású[/u] ABC háromszöget, amelynek a B csúcsa egy tetszőlegesen adott  [A,D) félegyenesre esik, és - csúszkákkal változtatható számokkal - adott:[br][list=1][*][b][color=#9900ff]három oldala;[/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]két oldala és az általuk közbezárt szöge;[/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge;[/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]egy oldala és az ezen fekvő két szöge;[/color][/b][/*][*][b][color=#ff0000]egy oldala, az egyik ezen fekvő, valamint az ezzel szemközti szöge;[/color][/b][/*][*][b][color=#ff0000]három szöge.[/color][/b][/*][/list][color=#333333][br]A háromszögszerkesztés itt felsorolt esetei lényegében a hiperbolikus geometria egybevágósági alapesetei, amelyeket most bizonyítás nélkül elfogadunk.[br]Mivel a hiperbolikus geometriában nem igaz, hogy valamely két szög ismeretében a harmadik kiszámolható (megszerkeszthető), ezért ha adott egy oldal és két szög, akkor ez két, eltérő meggondolást igénylő alapesetként kell kezelnünk. [br][br]Ezen kívül kaptunk még egy merőben új egybevágósági alapesetet, mivel:[br][list][*][b][color=#ff0000]A hiperbolikus geometriában két háromszög egybevágó, ha mindhárom szögük egyenlő.[/color][br][/b][/*][/list][br] (Bár nem feladatunk ennek az első pillantásra meglepő állításnak az igazolása, megjegyezzük hogy a háromszög defektusának a felhasználásával az állítás indirekt úton - viszonylag könnyen - belátható. Az oldalak egyértelmű megadást a szögekre vonatkozó koszinusz tétel biztosítja.)[/color]

Mind a hat egybevágósági alapeset szerkesztésénél azt az utat választottuk, hogy elsőként előállítottuk a rajzlap koordináta rendszeréhez ill. a P-modell alapköréhez viszonyított speciális helyzetű A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub]C[sub]0[/sub] háromszöget, majd ebből - a már alkalmazott eljárással - kaptuk meg az általános helyzetű ABC háromszöget. [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/NvShaZ7G]Már említettük[/url], hogy ha csúszkákkal adunk meg szakaszokat és szögeket a P-modellen, akkor ez a művelet nem tekinthető (euklideszi értelemben vett) alapszerkesztésnek. Épp úgy, mint a szögmérő használata sem az iskolai szerkesztések alkalmával. )[br][br]Az viszont érdekes kérdés, hogy miután a csúszkákkal megadott rajz objektumok megjelennek a modellen, maga a szerkesztési feladat megoldható-e a P-modell eszköztárával. [br][br][list=1][*][color=#9900ff][b]Adott három oldal.[/b][/color] Az [i]A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub]C[sub]0[/sub] Δ [/i] szerkesztése a "klasszikus" utat követi. Az [i]A[sub]0[/sub][/i] és[i] B[sub]0[/sub][/i] pontok ismeretében [i]C[sub]0[/sub][/i] az [i]A[sub]0[/sub][/i] középpontú c[sub]1[/sub] sugarú és [i]B[sub]0 [/sub][/i]középpontú [i]a[sub]1[/sub][/i] sugarú körök - egyik - metszéspontja lesz.[br]A csúszkák alsó és felső határának a beállításánál arról kellett gondoskodnunk, hogy bármely oldal hosszának a másik két oldal hossza közötti különbségnél nagyobbnak, összegénél kisebbnek kell lennie. Ez azzal a "jelenséggel" jár, hogy bármely csúszka értékét változtatva a másik kettő határai változnak, így látszólag azok is mozognak.[br]Egy szakasz egyértelmű megadása nem csak a mérőszám (csúszka értéke) megadásától, hanem a mértékegység ([i]E[/i] pont) megválasztásától is függ. Így természetes, hogy a mértékegységet változtatva a kapott háromszög szögei is változnak. (Ellentétben az euklideszi geometriában megszokottakkal.) [br][br][/*][*][color=#9900ff][b]Adott két oldal és a közbezárt szög. [/b][/color]Itt, és a továbbiakban többször is használtuk a GeoGebra [b]Forgatás()[/b] eljárását.[br]A megadott adatokból mindig megszerkeszthető a keresett háromszög, ezért a szakaszok hosszának "önkényesen" adtunk egy-egy felső korlátot.[br][br][/*][*] [b][color=#9900ff]Adott két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög.[/color][/b] A szerkesztés az euklideszi szerkesztéssel megegyező alapszerkesztés. [br]Megjegyezzük azonban, hogy ha ugyanezekből az [i]α , a, c[/i] adatokból a P modelltől függetlenül számolási feladatként kellene meghatároznunk a [i]b[/i] oldalt és a [i]β[/i] szöget, igen kellemetlen egyenlettel, vagy egyenletrendszerrel találnánk szemben magunkat. Ugyanis nem tudnánk kihasználni, hogy a háromszög két szöge egyértelműen meghatározza a harmadikat. (Ez a megállapítás a következő két alapesetre is vonatkozik.)[br][br][/*][*][b][color=#9900ff]Adott egy oldal és a rajta fekvő két szög.[/color][/b] Addig, amig az euklideszi geometriában a megoldhatóság feltétele csak az, hogy a két adott szög összege kisebb legyen az egyenesszögnél, itt nehéz meghatározni a megfelelő adatok megadásához szükséges alsó és felső korlátokat. Ezek ugyanis erősen függenek egymástól. Ezért most (és a következő alapesetnél is) eltekintettünk attól, hogy csak olyan adatokat adjunk meg, amelyekhez valóban egyértelműen létezik az adatoknak megfelelő háromszög. Ha nincs a feladatnak megoldása, azt jelzi a program. A teljes, lényegében négy paramétertől függő diszkussziót igényesebb olvasóinkra bízzuk.[br][br][/*][*][b][color=#ff0000]Adott egy oldal, az egyik rajta fekvő és a vele szemközti szög. [/color][/b]Ebben a szerkesztésben már szükségünk volt külső segítségre: a szinusztételre. A szerkesztésből azonban látszik, hogy épp úgy mint az euklideszi geometriában ha két oldal és a kisebbikkel szemben fekvő szög adott, akkor esetenként két megoldás is lehetséges, máskor egy sincs. [br](A P-modell [b]HMetszéspont2[][/b] eszköze maga is kizárja a két megoldás esetét.)[br][br][/*][*][b][color=#ff0000]Adott három szög[/color][/b]. Ezt az alapesetet a szinusztétel kétszeri alkalmazását követően visszavezettük a legkönnyebb 2. alapesetre.[br]Figyeljük meg, hogy az itt kapott eredmény nem függ a távolságegység megadásától.[br][br][/*][/list]