Im Kreisscheibenmodell von [b]POINCARÉ[/b] sind [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] die im Inneren des "absoluten Kreises" [b]K[sub]0[/sub][/b] liegenden Punkte, [color=#0000ff][i][b]GERADEN[/b][/i][/color] sind die im Inneren verlaufenden Kreisbögen von Kreisen, die orthogonal zum absoluten Kreis [b]K[sub]0[/sub][/b] sind.[br]Als Beispiel, dass auch hier vieles wie in der gewohnten Ebene richtig ist, sei der Umkreis des [color=#0000ff][i][b]DREIECKS[/b][/i][/color] betrachtet. Mittelpunkt ist der [color=#ff0000][i][b]MITTELSENKRECHTEN[/b][/i][/color]-Schnittpunkt [color=#ff0000][b]M[/b][/color]. Der hyperbolische [i][b]ABSTAND[/b][/i] der [color=#00ff00][i][b]ECKPUNKTE[/b][/i][/color] von [color=#ff0000][b]M[/b][/color] ist der [i][b]RADIUS[/b][/i] [math]\rho[/math] des [color=#ff7700][i][b]Umkreises[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]u[/b][/color]. [br]Die drei Punkte [color=#ff0000][b]M[/b][/color], [color=#00ffff][b]S[/b][/color], [color=#6aa84f][b]H[/b][/color] liegen auf einem Kreis, aber nicht auf einer GERADEN! Die [b]EULER[/b]-GERADE gibt es hyperbolisch nicht![br][size=85]Zur Erklärung der [i][b]Mittel-Lot-Kreise[/b][/i]: siehe die vorangegangenen Seiten des [b]ge[/b][/size][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][size=85][b]gebra-books[/b].[/size][br]Wie mißt man hier die [i][b]ABSTÄNDE [/b][/i]? Zur Metrik im Kreisscheibenmodell: [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie]wikipedia: Hyperbolische Geometrie[/url]. [br][br][size=85]Wer es [b]geogebra[/b]-genau wissen will: Der zu [b]K[sub]0[/sub][/b] orthogonale Kreis durch [color=#ff0000][b]M[/b][/color] und [color=#ff7700][b]D[/b][/color] schneidet den Rand von [b]K[sub]0[/sub][/b] in 2 Punkten [b]U[/b] und [b]V[/b]. Die vier Punkte haben wir als [i][b]komplexe[/b][/i] Punkte definiert ([i][b]Algebra[/b][/i]). Dann haben wir definiert:[/size] [math]\rho=|\mathbf{ln}\left(Dv\left(M,D,U,V\right)\right)|[/math] [size=85]mit dem Doppelverhältnis[/size] [math]Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math]. [size=85][br]Wir haben in der Rechnung den Realteil von [math]Dv\left(M,D,U,V\right)[/math] verwendet; dies ist eigentlich unnötig: das komplexe Doppelverhältnis von 4 Punkten, [i][b]die auf einem Kreis liegen[/b][/i], ist reell![/size][br][br][color=#980000][size=50][right]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/right][/size][/color]